留数定理を用いたバーゼル問題の美しい証明

$\dfrac{1}{x^2-1}$ をマクローリン展開する。

$$\dfrac{1}{x^2-1} = - \sum_{k=0}^{\infty} x^{2k}$$

よって $$\dfrac{\log x}{x^2-1} = -\sum_{k=0}^{\infty} x^{2k} \log x$$ である。

これより $$\int_0^1 \dfrac{\log x}{x^2 - 1} dx = - \int_0^1 \sum_{k=0}^{\infty} x^{2k} \log x dx$$ となる。ここで単調収束定理（詳しくは ルベーグの収束定理 を参照）を用いると，積分と極限が交換でき $$\int_0^1 \dfrac{\log x}{x^2 - 1} dx = - \sum_{k=0}^{\infty} \int_0^1 x^{2k} \log x dx$$ となる。

項別積分すると $$\begin{aligned} &\int_0^1 x^{2k} \log x \\ &= \Big[ \dfrac{1}{2k+1} x^{2k+1} \log x \Big]_0^1\\ &\quad - \dfrac{1}{2k+1} \int_0^1 x^{2k+1} \cdot \dfrac{1}{x} dx\\ &= -\dfrac{1}{(2k+1)^2} \Big[ x^{2k+2} \Big]_0^1\\ &= - \dfrac{1}{(2k+1)^2} \end{aligned}$$ となる。

よって $$\int_0^1 \dfrac{\log x}{x^2-1} dx = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{(2k+1)^2}$$ を得る。

もとめる積分を $I$ とおく。

まず与式を $x = \dfrac{1}{y}$ に置換する。 $$\begin{aligned} &\int_{\infty}^1 \dfrac{-\log x}{x^{-2}-1} \left( - \dfrac{dx}{x^2} \right)\\ &= \int_1^{\infty} \dfrac{\log x}{x^2-1} dx \end{aligned}$$

よって $$2I = \int_0^{\infty} \dfrac{\log x}{x^2-1} dx$$ となる。

この積分を留数定理で計算する。

そのまま計算するのではなく $$\oint_{C} \dfrac{(\log z)^2}{z^2-1} dz$$ を考える。

なお，下図のような積分路 $C$ を考えている。

留数定理より $$\begin{aligned} &\oint_{C} \dfrac{(\log z)^2}{z^2-1} dz\\ &= 2\pi i \; \mathrm{Res} \left( \dfrac{(\log z)^2}{z^2-1} , -1 \right)\\ &= 2\pi i \lim_{z \to -1} \dfrac{(\log z)^2}{z-1}\\ &= -\pi i \log^2 (-1)\\ &= - \pi^3 i \end{aligned}$$ である。

各積分路の計算

$C_R$ 上での積分を評価する。

$$\begin{aligned} \lim_{R \to \infty} \left| \int_{C_R} \dfrac{(\log z)^2}{z^2-1} \right| & \leqq \lim_{R \to \infty} \int_{C_R} \dfrac{|\log z|^2}{|z|^2-1} |dz|\\ & \leqq \lim_{R \to \infty} \int_0^{2\pi} \dfrac{R(\log R)^2 + R\theta^2}{R^2-1} d\theta\\ &= \lim_{R \to \infty} \left( \dfrac{2 \pi R (\log R)^2}{R^2-1} + \dfrac{8\pi^3 R}{3(R^2-1)} \right)\\ &= 0 \end{aligned}$$ である。

$z = Re^{i\theta}$ と置換している。途中で $$\begin{aligned} |\log z|^2 &= |\log R + i\theta|^2\\ &\leqq (\log R)^2 + \theta^2 \end{aligned}$$ と計算している。

なお $\theta$ での積分の範囲は $[0,2\pi]$ ではないが，$[0,2\pi]$ に含まれるため，上記のような不等式で評価してよい。

$\;$

次に $C_{\varepsilon}$ 上での積分を評価する。$\dfrac{1}{z^2-1}$ は $C_{\varepsilon}$ 上で正則であるため，最大値 $M$ を持つことを用いる。 $$\begin{aligned} \lim_{\varepsilon \to 0} \left| \int_{C_{\varepsilon}} \dfrac{(\log z)^2}{z^2-1} dz \right| &\leqq \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{C_\varepsilon} \dfrac{|\log z|^2}{|z^2-1|}|dz|\\ &\leqq \lim_{\varepsilon \to 0} \int_0^{2 \pi} M\varepsilon ((\log \varepsilon)^2 + \theta^2) d\theta\\ &= 0 \end{aligned}$$ である。

$\:$

$L_{+},L_{-}$ 上での積分を評価する。

$L_{+}$ 上で被積分関数は $\dfrac{(\log (x+i\delta))^2}{(x+i\delta)^2-1}$ となる。有界区間（今は $[\varepsilon , R]$ 上を考える）これは $\delta \to 0$ で $\dfrac{(\log x)^2}{x^2-1}$ に一様収束する。

よって $$\lim_{\delta \to 0} \int_{L_{+}} \dfrac{(\log z)^2}{z^2-1} dz = \int_{\varepsilon}^{R} \dfrac{(\log x)^2}{x^2-1} dx$$ が得られる。

同様に $L_{-}$ で被積分関数は $\dfrac{(\log (x-i\delta))^2}{(x+i\delta)^2-1}$ となり，$\delta \to 0$ で $\dfrac{(\log x + 2\pi i)^2}{x^2-1}$ に一様収束する。なお，$\log z = \log |z| + i \arg z$ であったことから，$L_{-}$ において $\arg z \to 2\pi$ であることに注意する。

こうして $$\begin{aligned} \lim_{\delta \to 0} \int_{L_{-}} \dfrac{(\log z)^2}{z^2-1} dz &= \int_{R}^{\varepsilon} \dfrac{(\log x + 2\pi i)^2}{x^2-1} dx\\ &= -\int_{\varepsilon}^R \dfrac{(\log x + 2\pi i)^2}{x^2-1} dx \end{aligned}$$ が得られる。

以上をまとめると $$\begin{aligned} &\lim_{R \to \infty} \lim_{\varepsilon \to 0} \lim_{\delta \to 0} \oint_C \dfrac{(\log z)^2}{z^2-1} dz\\ &= \int_{0}^{\infty} \dfrac{(\log x)^2}{x^2-1} dx -\int_{0}^{\infty} \dfrac{(\log x + 2\pi i)^2}{x^2-1} dx\\ &= \int_{0}^{\infty} \dfrac{4\pi^2-4\pi i \log x}{x^2-1} dx\\ &= 4\pi^2\int_{0}^{\infty} \dfrac{1}{x^2-1} dx-4 i \pi \int_{0}^{\infty} \dfrac{\log x}{x^2-1} dx \end{aligned}$$ となる。一方で $$\lim_{R \to \infty} \lim_{\varepsilon \to 0} \lim_{\delta \to 0} \oint_C \dfrac{(\log z)^2}{z^2-1} dz =- \pi^3 i$$ である。

虚部を比較することで $$I = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \dfrac{\log x}{x^2-1} dx = \dfrac{\pi^2}{8}$$ が得られる。