位相空間論の基礎～多項式写像を用いた開・閉集合の証明

更新 2025/09/27

$f (x_1, \cdots , x_n)$ を $n$ 変数多項式とする。

このとき $\{ x = (x_1, \cdots , x_n) \in \mathbb{R}^n \mid f(x) = 0 \}$ は $\mathbb{R}^n$ の閉集合である。

この記事では開集合・閉集合の証明方法として，多項式写像を用いたものを紹介します。

連続写像の復習

定理

$f : X \to Y$ を連続写像とする。

開部分集合 $O \subset Y$ に対して $f^{-1} (O)$ は $X$ の開部分集合である。（これを定義として用いられることもある）
閉部分集合 $F \subset Y$ に対して $f^{-1} (F)$ は $X$ の閉部分集合である。

→ 位相空間論への第一歩～連続関数とは何なのか？いくつかの重要な定義

多項式写像は連続写像です。よって多項式写像の逆像を考えると開集合・閉集合であることを証明できます。

簡単な例

多項式写像は連続写像です。また $\mathbb{R}$ （ $\mathbb{C}$ ）において，1点集合は閉部分集合になります。

よって，多項式写像で1点集合（ $\{ 0 \}$ などがよい）逆像を取ると閉集合であることが示されます。

例

円 $C : \{ (x,y) \mid x^2 + y^2 = 1\}$ は $\mathbb{R}^2$ の閉部分集合である。

証明

$f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ を $f(x,y) = x^2 + y^2 - 1$ と定める。この写像は連続写像である。

$C = f^{-1} (\{ 0 \})$ である。 $\{ 0 \} \subset \mathbb{R}$ は閉部分集合であるため， $C$ は $\mathbb{R}^2$ の閉部分集合である。

例

$M_n (\mathbb{C})$ で $n \times n$ 複素行列を表す。

一般線型群 $\mathrm{GL}_n (\mathbb{C}) = \{ X \in M_n (\mathbb{C}) \mid \det X \neq 0 \}$ は $M_n (\mathbb{C}) \simeq \mathbb{C}^{n^2}$ の開部分集合である。

特殊線型群 $\mathrm{SL}_n (\mathbb{C}) = \{ X \in M_n (\mathbb{C}) \mid \det X = 1\}$ は $M_n (\mathbb{C}) \simeq \mathbb{C}^{n^2}$ の閉部分集合である。

証明

行列式 $\det$ は，行列 $X = (x_{ij})$ に対して $\det X = \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^n x_{i \sigma (i)}$ と成分の多項式で書くことができる。→ 行列式の基本的な定義・性質・意味

※ 例えば $n = 2$ だと $x_{11} x_{22} - x_{12} x_{21}$ と書ける。

よって， $\det : M_n (\mathbb{C}) \to \mathbb{C}$ は多項式写像である。

$\mathrm{GL}_n (\mathbb{C}) = (\det)^{-1} (\{ 0 \}^c)$ である。 $\{ 0 \}^c$ （ $0$ の補集合）は開部分集合であるため $\mathrm{GL}_n (\mathbb{C})$ は $M_n (\mathbb{C})$ の開部分集合である。

$\mathrm{SL}_n (\mathbb{C}) = (\det)^{-1} (\{ 1 \})$ より $\mathrm{SL}_n (\mathbb{C})$ は $M_n (\mathbb{C})$ の閉部分集合である。

応用例

例

直交群 $O(n) = \{ X \in M_n (\mathbb{R}) \mid X^{\top} X = I_n \}$ は $M_n (\mathbb{C})$ の閉部分集合である。

ただし， $X^{\top}$ は $X$ の転置行列である。

証明

$f : M_n (\mathbb{R}) \to M_n (\mathbb{R})$ を $f(X) = X^{\top} X$ により定める。 $X^{\top}$ は転置行列であるため，各成分は $x_{11} , \cdots , x_{nn}$ の多項式で表される。また行列の積も成分の多項式で表されるため， $X^{\top} X$ の各成分は $x_{11}, \cdots , x_{nn}$ の多項式で表される。よって $f$ は連続写像である。

ここで $\{ I_n \} \in M_n (\mathbb{R})$ は閉部分集合であるため， $O(n) = f^{-1} (\{ I_n \})$ は閉部分集合である。

複素共役について

$\mathbb{C}$ において，複素共役を取る操作 $z \mapsto \bar{z}$ は連続写像です。よって，複素共役を用いて定義される $\mathbb{C}^n$ の部分集合の開・閉判定も同様に行うことができます。

例えば，元の行列 $X$ に対して，複素共役と転置を行った行列 $X^{\ast}$ （随伴行列）により定義されるユニタリ群 $U (n) = \{ X \in M_n (\mathbb{C}) \mid X^{\ast} X = I_n \}$ が $M_n (\mathbb{C}) \simeq \mathbb{C}^{n^2}$ の閉部分集合であることは，直交群と例と同様に証明することができます。

多様体（微分構造が入った図形）の判定にも多項式写像を用いることがあります。