随伴行列

$$\begin{aligned} x \cdot (Ay) &= x^{\top} \overline{Ay}\\ &= x^{\top} \left( {\overline{A}}^{\top} \right)^{\top} \overline{y} \\ &= x^{\top} A^{\ast \top} \overline{y}\\ &= (A^{\ast} x)^{\top} \overline{y}\\ &= (A^{\ast} x) \cdot y \end{aligned}$$

$\mathbb{C}^n$ のベクトルの内積 $x \cdot y = x^{\top} \overline{y}$ で表される。

よって $$\begin{aligned} \| U x \|^2 &= (Ux) \cdot (Ux) \\ &= (Ux)^{\top} \overline{Ux} \\ &= x^{\top} U^{\top} \overline{U} \overline{x}\\ &= x^{\top} \overline{x}\\ &= \| x \|^2 \end{aligned}$$ となる。

内積について，中線定理 $$\begin{aligned} \langle x,y \rangle &= \dfrac{1}{4} (\| x+y \|^2 - \| x-y \|^2\\ &\qquad \quad + i \| x+iy \| - i \| x-iy \|) \end{aligned}$$ が成立する。→ ノルム空間

ここで $$\| Ux + Uy \| = \| U(x+y) \| = \| x+y \|$$ であるため， $$(Ux) \cdot (Uy) = x \cdot y$$ となる。

$U$ の $n$ 本のベクトルを $\{ v_i \}_{i = 1 , \cdots , n}$ とおく。

$\mathbb{C}^n$ の単位ベクトルを $\{ e_i \}_{i = 1 , \cdots , n}$ とする。（$e_i$ は $i$ 成分のみが $1$ でその他の成分が $0$ である列ベクトル）

このとき $$v_i = U e_i$$ が成り立つ。

よって $$\begin{aligned} v_i \cdot v_j &= (U e_i) \cdot (U e_j)\\ &= e_i \cdot e_j\\ &= \begin{cases} 1 &(i=j)\\ 0 &(i \neq j) \end{cases} \end{aligned}$$ となり，正規直交基底であることが分かる。

$U$ の $n$ 本のベクトルを $\{ v_i \}_{i = 1 , \cdots , n}$ とおく。このとき $U = \begin{pmatrix} v_1 \cdots v_n \end{pmatrix}$ である。

計算すると， $$(U^{\top} \overline{U})_{ij} = v_i \cdot v_j$$ である。

$v_i^{\top} \overline{v_j} = v_i \cdot v_j$ であり，$\{ v_i \}$ は正規直交基底であることから $$(U^{\top} \overline{U})_{ij} = \begin{cases} 1 &(i=j)\\ 0 &(i \neq j) \end{cases}$$ が従う。こうして $U^{\top} \overline{U} = I$ となる。