攻略！ 二変数関数・多変数関数の極値判定

$$\begin{aligned} f_x &= 2x+y\\ f_y &= x + 2y\\ f_{xx} &= 2\\ f_{xy} &= f_{yx} = 1\\ f_{yy} &= 2 \end{aligned}$$ より臨界点は $$\begin{cases} 2x+y=0\\ x+2y=0 \end{cases}$$ の解，すなわち $(x,y) = (0,0)$ である。

$(x,y) = (0,0)$ において， $$\begin{aligned} f_{xx} (0,0) &= 2 > 0\\ \Delta (0,0) &= 2 \times 2 - 1^2 \\ &= 3 > 0 \end{aligned}$$ より，極小を取る。

極小値は $$f(0,0) = 0$$ である。

$$\begin{aligned} f_x &= 2x+y\\ f_y &= x + 2y\\ f_{xx} &= 2\\ f_{xy} &= f_{yx} = 1\\ f_{yy} &= 2 \end{aligned}$$ より臨界点は $$\begin{cases} 2x+y=0\\ x+2y=0 \end{cases}$$ の解，すなわち $(x,y) = (0,0)$ である。

$(0,0)$ でのヘッセ行列は $\begin{pmatrix} 2&1\\1&2 \end{pmatrix}$ である。

この固有値は $$\begin{vmatrix} 2-t & 1 \\ 1 & 2-t \end{vmatrix} = t^2 - 4t + 3$$ より固有値は $1,3$ である。よってヘッセ行列は正定値で，極小を取ることが分かる。

偏微分を計算する。

$$\begin{aligned} f_x &= 3x^2+2y-1\\ f_y &= 2x+2y\\ f_{xx} &= 6x\\ f_{xy} &= f_{yx} = 2\\ f_{yy} &= 2 \end{aligned}$$

よって臨界点は $$\begin{cases} 3x^2+2y-1=0\\ 2x+2y=0 \end{cases}$$ の解で $(x,y)=(1,-1),\left( -\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3} \right)$ である。

つまり極値の候補は二つ。

1. $(1,-1)$ について

$$\begin{aligned} f_{xx} (1,-1) &= 6 > 0\\ \Delta (1,-1) &= 6 \times 2 - 2 \times 2\\ &= 8 > 0 \end{aligned}$$

より極小値を取る。極小値は $$f(1,-1) = 1-2+1-1 = -1$$ である。

2. $\left( -\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3} \right)$ について

判別式は $$\begin{aligned} \Delta \left( -\dfrac{1}{3} , \dfrac{1}{3} \right) &= -2 \times 2 - 2 \times 2 \\ &= -4 \end{aligned}$$ より鞍点を取る。

平面 $x+y=0$ 上で $f(x,y)$ は $x^3 - x^2 - x$ となる。これは $x = -\dfrac{1}{3}$ で極大値を取る。

一方，平面 $x-y= -\dfrac{2}{3}$ 上で $f(x,y)$ は $x^3 + 3x^2 + \dfrac{5}{3} x + \dfrac{4}{9}$ となる。これは $x = -\dfrac{1}{3}$ で極小値を取る。

よって $f(x,y)$ は $(x,y) = \left( -\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3} \right)$ で極大にも極小にもならない。

まず臨界点を計算する。

$$\begin{aligned} f_x &= 3y e^{-x^2-y^2} - 2x(3xy+1) e^{-x^2-y^2}\\ &=(3y-6x^2y-2x) e^{-x^2-y^2}\\ f_y &= (3x-6xy^2-2y) e^{-x^2-y^2} \end{aligned}$$ より $$\begin{cases} 3y-6x^2y-2x = 0 &\cdots (1)\\ 3x-6xy^2-2y = 0 &\cdots (2) \end{cases}$$ の解が臨界点である。（$e^{-x^2-y^2} \neq 0$ に注意）

解を計算すると $$(x,y) = (0,0) , \left( \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}} , \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}} \right) , \left( \pm \sqrt{\dfrac{5}{6}} , \mp \sqrt{\dfrac{5}{6}} \right)$$ となる。

2階微分を計算すると $$\begin{aligned} f_{xx} &= 2(6x^3 y + 2x^2 - 9xy - 1) e^{-x^2-y^2}\\ f_{xy} &= (12x^2 y^2 - 6x^2 - 6y^2 + 4xy + 3) e^{-x^2-y^2}\\ f_{yy} &= 2(6x y^3 + 2y^2 - 9xy - 1) e^{-x^2-y^2} \end{aligned}$$ となる。

各点での判別式を計算する。

1. $(x,y) = (0,0)$ のとき

$$\begin{aligned} f_{xx} (0,0) &= -2\\ f_{xy} (0,0) &= 3\\ f_{yy} (0,0) &= -2 \end{aligned}$$ より判別式は $$\begin{aligned} \Delta (0,0) &= -2 \times (-2) - 3 \times 3\\ &= -13 < 0 \end{aligned}$$ より鞍点を取る。

2. $(x,y) = \left( \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}} , \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}} \right)$ のとき

$$\begin{aligned} f_{xx} &= -4e^{-\frac{1}{3}}\\ f_{xy} &= 2 e^{-\frac{1}{3}}\\ f_{yy} &= -4 e^{-\frac{1}{3}} \end{aligned}$$

よって $$\begin{aligned} f_{xx} &= -4 e^{-\frac{1}{3}} < 0\\ \Delta &= -4 e^{-\frac{1}{3}} \times \left( -4 e^{-\frac{1}{3}} \right) - \left( 2 e^{-\frac{1}{3}} \right)^2\\ &= 12 e^{-\frac{1}{3}} > 0 \end{aligned}$$ であるため極大値を取る。

極大値は $$f \left( \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}} , \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}} \right) = \dfrac{3}{2} e^{-\frac{1}{3}}$$ となる。

1. $(x,y) = \left( \pm \sqrt{\dfrac{5}{6}} , \mp \sqrt{\dfrac{5}{6}} \right)$ のとき

$$\begin{aligned} f_{xx} &= 4 e^{\frac{5}{3}}\\ f_{xy} &= -2e^{-\frac{5}{3}}\\ f_{yy} &= 4 e^{\frac{5}{3}} \end{aligned}$$ より $$\begin{aligned} f_{xx} &= 4 e^{\frac{5}{3}} > 0\\ \Delta &= 4 e^{\frac{5}{3}} \times 4 e^{\frac{5}{3}} - \left( -2 e^{\frac{5}{3}} \right)^2\\ &= 12 e^{\frac{10}{3}} > 0 \end{aligned}$$ より極小値を取る。

極小値は $$f \left( \pm \sqrt{\dfrac{5}{6}} , \mp \sqrt{\dfrac{5}{6}} \right) = -\dfrac{3}{2} e^{-\frac{5}{3}}$$ となる。