多様体入門1～定義と簡単な例

ハウスドルフ性

ハウスドルフ空間の部分空間はハウスドルフであるため，$S^n$ はハウスドルフである。→ ハウスドルフ空間

チャートの設定

$1 \leqq i \leqq n+1$ に対して $$U_{i,+} = \{ (x_1 , \cdots , x_{n+1}) \in S^n \mid x_i > 0 \}\\ U_{i,-} = \{ (x_1 , \cdots , x_{n+1}) \in S^n \mid x_i < 0 \}$$ と定める。

$$V_{i , \pm} = \left\{ (y_1 , \cdots , y_n) \mid \sqrt{{y_1}^2 + \cdots + {y_n}^2} < 1 \right\}$$ と定める。

このとき $\displaystyle S_n = \bigcup_{i = 1}^{n+1} U_{i,+} \cup \bigcup_{i = 1}^{n+1} U_{i,-}$ となる。

$\phi_{i,\pm} : U_{i,\pm} \to V_{i,\pm}$ を $$\begin{aligned} &\phi_{i,\pm} (x_1, \cdots , x_{n+1}) \\ &= (x_1, \cdots , x_{i-1} , x_{i+1} ,\cdots , x_{n+1}) \end{aligned}$$ と定める。（$i$ 番目の座標だけを取り除く）

これは微分同相写像である。実際， $$\begin{aligned} &\psi_{i,\pm} (y_1 , \cdots , y_n)\\ &= \left( y_1 , \cdots , y_{i-1} ,\pm \sqrt{1-{y_1}^2 - \cdots - {y_n}^2} , y_{i}, \cdots , y_n \right) \end{aligned}$$ と逆写像が得られる。

これらを踏まえると，$\phi_{i,\pm} \circ {\phi_{j,\pm}}^{-1}$ の成分に現れる関数は

• $y_i$
• $\sqrt{1- ({y_1}^2 + \cdots + {y_n}^2)}$

であるため，$\phi_{i,\pm} \circ {\phi_{j,\pm}}^{-1}$ は $C^{\infty}$ 級関数である。

以上より $S^n$ は $C^{\infty}$ 級多様体である。

ハウスドルフ性

射影空間のハウスドルフ性・コンパクト性～商位相空間 を参照

チャートの設定

$$U_i = \{ [x_0 : \cdots : x_n] \mid x_i \neq 0 \}$$ と定義する。$U_i$ は $\mathbb{P}^n$ の開集合となり，$\{ U_i \}$ は $\mathbb{P}^n$ を被覆する。

さらに $\phi_i : U_i \to \mathbb{R}^n$ を $$\begin{aligned} &\phi_i ([x_0 : \cdots : x_n]) \\ &= \left( \dfrac{x_0}{x_i}, \cdots , \dfrac{x_{i-1}}{x_i} , \dfrac{x_{i+1}}{x_i} , \cdots , \dfrac{x_n}{x_i} \right) \end{aligned}$$ と定める。

$\phi_i$ は同相写像である。実際，逆写像として $$\begin{aligned} &\psi_i (y_1 , \cdots , y_n)\\ &= [y_1 : \cdots : y_i : 1 : y_{i+1} : \cdots : y_n] \end{aligned}$$ が得られる。

$\phi_i (U_i \cap U_j)$

座標変換

$\phi_j \circ \phi_i^{-1} : \phi_i (U_i \cap U_j) \to \phi_j (U_i \cap U_j)$ を計算すればよい。

$$\phi_i (U_i \cap U_j) = \{ (y_1 , \cdots , y_n) \mid y_j \neq 0 \}$$ となる。

$\phi_j \circ \phi_i^{-1}$ の成分に現れる関数は $\dfrac{y_m}{y_j} \ (m \neq k), \dfrac{1}{y_k}$ が，$\phi_i (U_i \cap U_j)$ 上でこれらは $C^{\infty}$ 級である。

こうして多様体の構造が入る。