射影空間のハウスドルフ性・コンパクト性～商位相空間

自然な写像を $\pi' : S^n \to S^n / \sim'$ とおく。

1. $S^n / \sim'$ から $\mathbb{R}P^n$ への写像
   包含写像 $i : S^n \to \mathbb{R}^{n+1} \backslash \{ O \}$ を考えると，定理により $\overline{i} : S^n / \sim' \to \mathbb{R}^{n+1} \backslash \{ O \}$ が得られる。
   ここに $\pi$ を合成することで $\pi \circ \overline{i} = S^n / \sim' \to \mathbb{R}P^n$ が得られる。

2. $\mathbb{R}P^n$ から $S^n / \sim'$ への写像
   $f : \mathbb{R}^{n+1} \backslash \{ O \} \to S^n$ を $f (x) = \dfrac{x}{\| x \|}$ と定義するとこれは連続関数である。
   1 と同様にして $\pi' \circ \overline{f} : \mathbb{R}P^n \to S^n / \sim'$ を得る。

1，2 で得られた写像は互いに逆写像であるため，同相が得られた。

$$\mathbb{R} P^n = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda}$$ と被覆を取る。

ここで $V_{\lambda} = \pi^{-1} (U_{\lambda})$ とおく。これは被覆 $$S^n = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} V_{\lambda}$$ を与える。

ここで $S^n$ はコンパクトであったため，有限個の $\lambda_n$ が得られて $$S^n = \bigcup_{i=1}^n V_{\lambda_i} = \bigcup_{i=1}^n \pi^{-1} (U_{\lambda_i})$$ となる。

こうして $$\mathbb{R}P^n = \bigcup_{i=1}^n U_{\lambda_i}$$ を得る。

$x_1,x_2 \in \mathbb{R}P^n$ を $x_1 \neq x_2$ となるように取る。

$\pi^{-1} (x_i) = \{ \tilde{x}_i , - \tilde{x}_i \} \ (i = 1,2)$ となるもので $\tilde{x}_i \in S^n$ が存在し，$\tilde{x}_1 \neq \pm \tilde{x}_2$ を満たす。

$S^n$ はハウスドルフであるため，$\pm x_i$ の開近傍 $U_{i}^{\pm}$ があって，$U_1^{\pm} \cap U_2^{\pm} = \emptyset$ となる。（複号は任意）

ここで $U_1 = U_1^+ \cup U_1^-$，$U_2 = U_2^+ \cup U_2^-$ とおくと，$U_1 \cap U_2 = \emptyset$ である。

$V_i = \pi (U_i)$ とすると，$V_i$ は $x_i$ の開近傍であって，$V_1 \cap V_2 = \emptyset$ となる。

こうしてハウスドルフ性が示された。

$1 \Longrightarrow 2$

2点 $\overline{x_1} , \overline{x_2} \in X / \sim$ を取る。$\overline{x_1} \neq \overline{x_2}$ とする。このとき $x_1 \nsim x_2$ であるため，$(x_1 , x_2) \in \Delta^c$（${}^c$ は補集合）となる。

$\Delta^c$ は開集合になるため，ある開集合 $U \subset X \times X$ であって $(x_1,x_2) \in U \subset \Delta^c$ というものが存在する。このとき $U = U_1 \times U_2$（$U_1 , U_2$ は $X$ の開集合） と表される。

$U_i$ は $x_i$ の開近傍であり，$\pi (U_1) \cap \pi (U_2) = \emptyset$ となる。こうして $X / \sim$ はハウスドルフであることがわかる。

$2 \Longrightarrow 1$

逆にたどればよい。