1/(x^4+1) の積分

$$\begin{aligned} &\int \dfrac{dx}{x^4 + 1}\\ &= \int \dfrac{dx}{(x^2 + \sqrt{2} x + 1) (x^2 - \sqrt{2} x + 1)}\\ &= \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \int \left( \dfrac{x+\sqrt{2}}{x^2 + \sqrt{2} x + 1} + \dfrac{-x+\sqrt{2}}{x^2 - \sqrt{2} x + 1} \right) dx \end{aligned}$$ と部分分数分解できる。

前半は $$\begin{aligned} &\int \dfrac{x+\sqrt{2}}{x^2 + \sqrt{2} x + 1} dx\\ &= \dfrac{1}{2} \int \dfrac{2x+\sqrt{2}}{x^2 + \sqrt{2}x + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \int \dfrac{dx}{x^2 + \sqrt{2}x + 1} \\ &= \dfrac{1}{2} \int \dfrac{(x^2 + \sqrt{2}x + 1)'}{x^2 + \sqrt{2}x + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \int \dfrac{dx}{\left( x+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \dfrac{1}{2}}\\ &= \dfrac{1}{2} \log (x^2 + \sqrt{2}x + 1) + \arctan (\sqrt{2} x + 1) \end{aligned}$$ となる。

同様に，後半は $$\begin{aligned} &\int \dfrac{-x+\sqrt{2}}{x^2 - \sqrt{2} x + 1} dx\\ &= - \dfrac{1}{2} \log (x^2 - \sqrt{2}x + 1) - \arctan (-\sqrt{2} x + 1) \end{aligned}$$ となる。

よって $$\begin{aligned} &\int \dfrac{dx}{x^4 + 1}\\ &= \dfrac{1}{4\sqrt{2}} \{ \log(x^2 + \sqrt{2} x + 1)-\log(x^2 - \sqrt{2} x + 1)\\ & \quad\quad\quad\quad + 2 \arctan (\sqrt{2} x + 1) - 2 \arctan (1 - \sqrt{2} x) \} \end{aligned}$$ である。

前半 $$\begin{aligned} &\Big[ \log(x^2 + \sqrt{2} x + 1)\\ & \quad -\log(x^2 - \sqrt{2} x + 1) \Big]_{-\infty}^{\infty}\\ &= \Big[ \log \dfrac{x^2 + \sqrt{2} x + 1}{x^2 - \sqrt{2} x + 1} \Big]_{-\infty}^{\infty}\\ &= \log 1 - \log 1\\ &= 0 \end{aligned}$$

後半 $$\begin{aligned} &\Big[ \arctan (\sqrt{2} x + 1)\\ & \quad - \arctan (1 - \sqrt{2} x) \Big]_{-\infty}^{\infty}\\ &= \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2}\\ &= 2\pi \end{aligned}$$

よって $$\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{dx}{x^4+1} = \dfrac{\pi}{\sqrt{2}}$$ である。