ノルム空間はいつ内積空間になるのか？～証明

$$\begin{aligned} &\langle x,y \rangle\\ &= \dfrac{1}{4} (\| x+y \|^2 - \| x-y \|^2)\\ &= \dfrac{1}{4} (\| y+x \|^2 - \| y-x \|^2)\\ &= \langle y,x \rangle \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\langle x,x \rangle\\ &= \dfrac{1}{4} ( \| x+x \|^2 - \| x-x \|^2)\\ &= \| x \|^2\\ &\geqq 0 \end{aligned}$$

最後にノルムの正定値性を用いた。

$\langle x,x \rangle = 0$ とする。

前の計算から $$\langle x,x \rangle = \| x \| = 0$$ となる。

ノルムの性質より $\| x \| = 0 \iff x=0$ となる。

$$\begin{aligned} &\langle x,z \rangle + \langle y,z \rangle\\ &= \dfrac{1}{4} ( \| x+z \|^2 + \| y+z \|^2 \\ &\quad\quad\quad - \| x-z \|^2 - \| y-z \|^2 )\\ &= \dfrac{1}{8} ( \| x+y+2z \|^2 + \| x-y \|^2\\ &\quad\quad\quad - \| x+y-2z \|^2 - \| x-y \|^2 )\\ &= \dfrac{1}{8} ( \| x+y+2z \|^2 - \| x+y-2z \|^2 )\\ &= \dfrac{1}{2} \langle x+y , 2z \rangle \end{aligned}$$

$y = 0$ を代入することで $\langle x,z \rangle = \dfrac{1}{2} \langle x,2z \rangle$ となる。

この $x$ を $x+y$ に戻すことで $$\langle x+y,z \rangle = \langle x,z \rangle + \langle y,z \rangle$$ を得る。

$a_n = \langle x_n , y \rangle$，$a = \langle x,y \rangle$ とする。

和で分かれることは証明したため $$\begin{aligned} &|a - a_n|\\ &= | \langle x-x_n , y \rangle |\\ &= \dfrac{1}{4} \left| \| x-x_n + y \|^2 \right. \\ &\quad\quad \quad \left. - \| x-x_n - y \|^2 \right|\\ &= \dfrac{1}{4} \left| \| x-x_n + y \| - \| x-x_n - y \| \right| \\ &\quad\quad \quad \times ( \| x-x_n + y \| + \| x-x_n - y \| ) \end{aligned}$$

ここで三角不等式から $$\| x-x_n+y \| \leqq \| 2(x-x_n) \| + \| -(x-x_n) + y \|$$ より $$\| x-x_n + y \| - \| x-x_n - y \| \leqq 2 \| x-x_n \|$$ となる。

こうして $$\begin{aligned} &|a - a_n| \\ &\leqq \dfrac{1}{2} \| x-x_n \| ( \| x-x_n + y \| + \| x-x_n - y \| )\\ \end{aligned}$$ となる。

$n \to \infty$ で $\| x-x_n \| \to 0$ であるため，$| a-a_n | \to 0$ である。

こうして証明された。

和についての線型性を用いることで，任意の整数 $n$ について $$\langle nx , y \rangle = n \langle x,y \rangle$$ となる。

また，任意の整数 $m$ について $$\langle x , y \rangle = m \left\langle \dfrac{x}{m} ,y \right\rangle$$ となるため，これら2つを合わせると，任意の有理数 $r$ に対して $$\langle rx,y \rangle = r \langle x,y \rangle$$ となる。

さて，実数 $a$ を任意に取ると，ある有理数列 $\{ a_n \}$ があって $\displaystyle a = \lim_{n \to \infty} a_n$ となる。

前の補題を用いると $$\begin{aligned} &\langle ax,y \rangle\\ &= \lim_{n \to \infty} \langle a_nx,y \rangle\\ &= \lim_{n \to \infty} a_n \langle x,y \rangle\\ &= a \langle x,y \rangle \end{aligned}$$ を得る。