多様体入門3～多様体の間の写像の可微分性

$C^r$ 級多様体の間の連続関数 $f : M \to N$ が $C^r$ 級であることと次の条件は同値である。

• 任意の $x \in M$ に対して，ある $\alpha \in A$，$\beta \in B$ が次を満たすように存在する。
  • $x \in U_{\alpha}$，$f(x) \in U'_{\beta}$ かつ $$\varphi'_{\beta} \circ f \circ \varphi_{\alpha}^{-1} : \varphi_{\alpha} (U_{\alpha} \cap f^{-1} (U'_{\beta})) \to V'_{\beta}$$ は $\varphi_{\alpha} (x)$ の近傍で $C^r$ 級である。

多様体の写像 $f: M \to N$ が $C^r$ 級微分同相であるとは，ある $C^r$ 級写像 $g : N \to M$ があって $g \circ f = \mathrm{id}_M$，$f \circ g = \mathrm{id}_N$ となることをいう。

また，このとき $M$ と $N$ は $C^r$ 級微分同相であるという。

$M$ と $N$ は $C^r$ 級微分同相とする。（$r \geqq 1$）

このとき，$M$ と $N$ の次元は一致する。

$\mathcal{U}$，$\mathcal{O}$ をそれぞれ $C^r$ 級多様体 $M$ 上のアトラスとする。

$\mathcal{U}$ と $\mathcal{O}$ が両立することを $\mathrm{id}_M : (M,\mathcal{U}) \to (M,\mathcal{O})$ が $C^r$ 級微分同相であることと定義する。

このことは $\mathcal{U} \cup \mathcal{O}$ もまた $M$ のアトラスになることと同値である。

※ 「両立する」を「同値である」ということもある。

$\mathcal{U}$ を多様体 $M$ のアトラスとする。$\mathcal{U}$ と両立するアトラス全体の集合を $\{ \mathcal{O}_{\lambda} \}$ とする。

このとき $\displaystyle \bigcup \mathcal{O}_{\lambda}$ を極大アトラスという。