多様体入門2～陰関数定理から定まる多様体

1. $f(x,y) = xy+x^2y+xy^2$ の場合

ヤコビアンは $$\begin{pmatrix} 2xy+y+y^2 & 2xy+x+x^2 \end{pmatrix}$$ である。ランクが $0$ になるのは $$\begin{cases} 2xy+y+y^2 = 0\\ 2xy+x+x^2 = 0 \end{cases}$$ となるときである。これを解くと $(x,y) = (0,0),(-1,0),(0,-1), \left( -\dfrac{1}{3} , - \dfrac{1}{3} \right)$ が解である。

順に $f$ に代入することで $0,\dfrac{1}{27}$ が臨界値だと分かる。

2. $f(x,y) = x^3+y^3-3xy$ の場合

ヤコビアンは $$\begin{pmatrix} 3x^2-3y & 3y^2-3x \end{pmatrix}$$ である。ランクが $0$ になるのは $$\begin{cases} 3x^2-3y = 0\\ 3y^2-3x = 0 \end{cases}$$ となるときである。これを解くと $(x,y) = (0,0),(1,1)$ が解である。（実数解だけを考えればよい）よって $0,-1$ が臨界値だと分かる。

$F(x,y,z) = (x-y^2 , xy+z)$ とする。

$$\begin{aligned} (JF)_{(x,y,z)} &= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial x} & \dfrac{\partial F_1}{\partial y} & \dfrac{\partial F_1}{\partial z}\\ \dfrac{\partial F_2}{\partial x} & \dfrac{\partial F_2}{\partial y} & \dfrac{\partial F_2}{\partial z} \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 1 & - 2y & 0\\ y & z & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

任意の $(x,y,z)$ において $\mathrm{rank} \ (JF)_{(x,y,z)} = 2$ となる。

よって，任意の $(x,y,z) \in F^{-1} (0)$ は正則値であるため，$F^{-1} (0)$ は多様体になる。

$M_n (\mathbb{R})$ の座標を $(x_{ij})$ で表す。

$A = (a_{ij})$ と表記する。

$$\begin{aligned} &\dfrac{\partial}{\partial x_{ij}} \det A\\ &= \left. \dfrac{d}{dt} \det \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\ a_{i1} & \cdots & a_{ij}+t & \cdots & a_{in}\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \right|_{t=0}\\ &= \det \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & 0 & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\ a_{i1} & \cdots & 1 & \cdots & a_{in}\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\\ &= A \text{の第} (i,j) \text{余因子行列式} \end{aligned}$$ となる。

$\det$ のヤコビアン $(J \det)_A$ は，$A$ の第 $(i,j)$ 余因子行列式を並べたものになる。

今，$A \in \mathrm{SL}_n (\mathbb{R})$ の行列式は $1$ であるため，少なくとも1つの余因子行列は $0$ にならない。

ゆえに $\mathrm{rank} \ (J\det)_M = 1$ である。

$\det$ は多項式の形で表されるため $C^{\infty}$ 級である。

こうして $\mathrm{SL}_n (\mathbb{R})$ は $C^{\infty}$ 級多様体になる。

$n \times n$ 対称行列の集合を $\mathrm{Sym}_n (\mathbb{R})$ で表す。

$F : M_n (\mathbb{R}) \to \mathrm{Sym}_n (\mathbb{R})$ を $$F(A) = {}^t A A$$ とする。（${}^t A$ は $A$ の転置行列）ここで $F$ は $C^{\infty}$ 級である。

$O(n) = F^{-1} (I_n)$ となる。

ヤコビアン $(JF)_A : M_n (\mathbb{R}) \to \mathrm{Sym}_n (\mathbb{R})$ を計算する。 $$\begin{aligned} (JF)_A (X) &= \left. \dfrac{d}{dt} {}^t (A+tX) (A+tX) \right|_{t = 0}\\ &= {}^t X A + {}^t A X \end{aligned}$$

$I_n \in \mathrm{Sym}_n (\mathbb{R})$ は正則値であることを示す。

$A \in F^{-1} (I_n)$ に対して $(JF)_A$ が全射であることを示せばよい。

$Y \in \mathrm{Sym}_n (\mathbb{R})$ を任意に取る。ここで $X = \dfrac{1}{2} AY$ とすると $$\begin{aligned} (JF)_A (X) &= \dfrac{1}{2} {}^t Y {}^t AA + \dfrac{1}{2} {}^t A A Y\\ &= \dfrac{1}{2} {}^t Y + \dfrac{1}{2} Y\\ &= Y \end{aligned}$$ となるため，$(JF)_A$ は全射である。

こうして $I_n$ は正則値であることが分かった。

よって $O(n)$ は $C^{\infty}$ 級多様体となる。

$\det : M_n (\mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}^{n^2} \to \mathbb{R}$ となっているため，次元は $n^2 - 1$ です。

$M_n (\mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}^{n^2}$ である。

対称行列 $A = (a_{ij})$ について，$a_{ij} = a_{ji}$ であるため，座標としては対角成分と上三角成分だけを考えればよく，$\mathrm{Sym}_n (\mathbb{R}) = \mathbb{R}^{\frac{n(n+1)}{2}}$ となる。

よって直交群の次元は $$n^2 - \dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$$ である。