ベータ関数の基本的な性質～ガンマ関数との関係・広義積分の収束

$$B(m+1,n+1) = \int_0^1 x^m(1-x)^ndx$$ とおく。

部分積分により，

$$\begin{aligned} &\int_0^1 x^m(1-x)^ndx\\ &=\left[\dfrac{x^{m+1}}{m+1} (1-x)^n\right]^1_0 + \int_{0}^{1}\dfrac{x^{m+1}}{m+1}n(1-x)^{n-1}dx\\ &=\dfrac{n}{m+1}I(m+1, n-1)\\ &=\dfrac{n}{m+1}\dfrac{n-1}{m+2}I(m+2, n-2)\\ &=\cdots \\ &=\dfrac{m!n!}{(m+n)!}I(m+n, 0)\\ &=\dfrac{m!n!}{(m+n)!}\displaystyle\int_{0}^{1}x^{m+n}dx\\ &=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\Gamma (p) \Gamma (q)\\ &= \int_0^{\infty} x^{p-1}e^{-x}dx \int_0^{\infty} y^{q-1}e^{-y}dy\\ &= \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} x^{p-1}y^{q-1}e^{-x-y}dxdy \end{aligned}$$

ここで $x = uv$，$y = u(1-v)$ と置換する。

ヤコビアンは $$|\det J| = \left|\begin{pmatrix} v & u\\ 1-v & -u \end{pmatrix}\right| = u$$ となる。

積分区間を求める。

$x+y = u$ より $0 \leqq u < \infty$ である。

また，$v = \dfrac{x}{x+y}$ となる。$x,y$ は非負であるため $0 \leqq v \leqq 1$ である。

※ 実際，$0$ から $1$ の間の値を連続的に取ることも証明できる。

こうして $$\begin{aligned} &\Gamma (p) \Gamma (q)\\ &= \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} u^{p+q-2} v^{p-1} (1-v)^{q-1} e^{-u} \times ududv\\ &= \int_0^{\infty} u^{p+q-1} e^{-u} du \int_0^{1} v^{p-1} (1-v)^{q-1} dv\\ &= \Gamma (p+q) \mathrm{B} (p,q) \end{aligned}$$ と計算される。

1. 定義式の積分について $t = 1-s$ と置換すると計算できる。

2. 部分積分を用いる。 $$\begin{aligned} &p \mathrm{B} (p,q+1)\\ &= \int_0^1 px^{p-1} (1-x)^{q}dx\\ &= \Big[ x^p (1-x)^{q} \Big]_0^1 + \int_0^1 qx^p (1-x)^{q-1} dx \\ &= q\mathrm{B} (p+1,q) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\mathrm{B} (p+1,q) + \mathrm{B} (p,q+1)\\ &= \int_0^1 \{ x^p (1-x)^{q-1} + x^{p-1} (1-x)^q \} dx\\ &= \int_0^1 \{ x + (1-x) \} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx\\ &= \int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx\\ &= \mathrm{B} (p,q) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx\\ &= \int_0^{\frac{1}{2}} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx\\ &\quad +\int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx\\ \end{aligned}$$

• 1項目

$0 \le x \le \frac{1}{2}$ において $0 < 1-x \le 1$ であるため， $$\begin{aligned} &\int_0^{\frac{1}{2}} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx\\ &= \lim_{\delta \to 0} \int_{\delta}^{\frac{1}{2}} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx\\ & \le \lim_{\delta \to 0} \int_{\delta}^{\frac{1}{2}} x^{p-1} dx\\ &= \lim_{\delta \to 0} \Big[ \dfrac{1}{p} x^p \Big]_{\delta}^{\frac{1}{2}} \\ &= \lim_{\delta \to 0} \dfrac{2^{-p} - \delta^p}{p} \end{aligned}$$ となる。$p > 1$ より，$\displaystyle \lim_{\delta \to 0} \delta^p = 0$ であるため， $$\lim_{\delta \to 0} \dfrac{2^{-p} - \delta^p}{p} = \dfrac{1}{p2^p}$$

広義積分可能である。

• 2項目

$x = 1-y$ と置換すると1項目と同様に計算できる。

適切に変数変換するとベータ関数に帰着される。