平面図形

3辺の長さが $a, b, c$ の三角形の面積 $S$ は, $$s=\dfrac{a+b+c}{2}$$ と置くと， $$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ で計算できる。この公式をヘロンの公式と言う。

中線定理（パップスの中線定理）とは，図において $$AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$$ が成立するという定理。ただし，$M$ は $BC$ の中点。

3辺の長さが $a,\:b,\:c$ である三角形が存在する必要十分条件は，

$a+b > c$ かつ $b+c > a$ かつ $c+a > b$

三角形 $ABC$ に対して，

• $a=b\cos C+c\cos B$
• $b=c\cos A+a\cos C$
• $c=a\cos B+b\cos A$

図において，黄色部分の面積と青い部分の面積は等しい。

内接円とは，三角形の3つの辺全てに接する円のこと。内接円の半径は， $$S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)$$ という公式を使って計算できる。

接線と弦のつくる角 $\angle BAD$ は，その弦に対する円周角 $\angle ACB$ と等しい。これを 接弦定理(せつげんていり) と言う。

「面積比」は「相似比の2乗」と等しい

• 2次元の場合

$$d = \sqrt{(a_x)^2 + (a_y)^2}$$

• 3次元の場合

$$d = \sqrt{(a_x)^2 + (a_y)^2 + (a_z)^2}$$

円周上にある3点 $A,B,C$ を頂点とする三角形 $ABC$ について，1辺が円の直径と一致するなら，$ABC$ は直角三角形。

1. 中心角は円周角の2倍
2. 同じ弧に対する円周角は全て等しい

線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線とは，$\mathrm{AB}$ の中点を通り $\mathrm{AB}$ と直交する直線のこと。

図において △ $ABP:$△ $ACP=BD:CD$

内角の二等分線の図において，

1. $a:b=d:e$
2. $(a+b)f=2ab\cos \dfrac{A}{2}$
3. $f^2=ab-de$

ただし，$D$ は $\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点で，$AB=a, AC=b, BD=d,DC=e, AD=f$

図において，

$$\dfrac{AF}{FB}\times\dfrac{BD}{DC}\times\dfrac{CE}{EA}=1$$

が成立する。これをチェバの定理と言う。

三角形 $ABC$ と辺 $BC$ 上の点 $P$ に対して， $$b^2\cdot BP+c^2\cdot CP\\=a(BP\cdot CP+AP^2)$$ が成立する。

半径が異なる2つの円の位置関係は以下の5通り。

円周上に点 $A,B,C,D$ がある。$AB$ と $CD$ が 円の内部の点 $P$ で交わるとき，

$PA\times PB$$=$$PC\times PD$

図において， $$\dfrac{AD}{DB}\times\dfrac{BE}{EC}\times\dfrac{CF}{FA}=1$$ が成立する。これをメネラウスの定理と言う。

円周角の定理が使える。つまり，円に内接する四角形 $ABCD$ において，

$\angle DAC=\angle DBC$ などが成り立つ。

1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さは $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ である。

• 正三角形の内接円の半径は $\dfrac{\sqrt{3}}{6}a\fallingdotseq 0.289a$
• 正方形の内接円の半径は $\dfrac{1}{2}a=0.5a$
• 正五角形は $\dfrac{1}{2\sqrt{5-2\sqrt{5}}}a\fallingdotseq 0.688a$
• 正六角形は $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\fallingdotseq 0.866a$
• 正八角形は $\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}a\fallingdotseq 1.207a$

半径が $r_1,r_2$ であり，中心間の距離が $d$ である2つの円がある。共通外接線上の2つの接点間の距離 $AB$ は $$\sqrt{d^2-(r_1-r_2)^2}$$

2点からの距離の和が一定である点の軌跡を楕円と言う。また，この2点のことを焦点という。

楕円の端を結ぶ直線のうち，長いものを 長軸，短いものを 短軸 という。

円に内接する四角形 $ABCD$ において, $$AB×CD＋AD×BC＝AC×BD$$ が成立する。これをトレミーの定理と言う。

円に内接する四角形 $ABCD$ において $AB=a, BC=b, CD=c, DA=d$ とおくと，四角形 $ABCD$ の面積は，

$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

ただし，$s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$ とおいた。

3本の中線（頂点と向かい合う辺の中点を結んだ線）は1点で交わる。この点を重心と呼ぶ。

正方形の4頂点を結ぶ方法で，使う線分の長さの総和が最も短いものを求めよ。

2点 $A,B$ からの距離の比が $m:n$ で一定である点の軌跡は円である。これをアポロニウスの円と呼ぶ。

円に外接する四角形とは「4つの辺すべてが同じ円に接する」四角形です。

定円に内接する三角形の中で，面積が最大のものは正三角形である。

周の長さが一定である長方形の中で，面積が最大のものは正方形。

三角形について，各頂点から対辺におろした垂線の足がなす三角形を垂足三角形と言う。

$\triangle \mathrm{ABC}$ があり $\angle \mathrm{A} = \dfrac{5}{18} \pi$，$\angle \mathrm{B} = \dfrac{5}{9}\pi$，$\angle \mathrm{C} = \dfrac{\pi}{6}$ である。辺 $\mathrm{BC}$ 上に $\angle \mathrm{BAD} = \dfrac{\pi}{6}$ を取り $\mathrm{B}$ から辺 $\mathrm{AC}$ に下した垂線との交点を $\mathrm{H}$ とし $\mathrm{BH}$ と $\mathrm{AD}$ の交点を $\mathrm{E}$ とする。

1. $\dfrac{\tan \dfrac{5}{18} \pi \tan \dfrac{7}{18} \pi}{\tan \dfrac{\pi}{3} \tan \dfrac{4}{9} \pi}$ を求めよ。
2. $\angle \mathrm{CEH}$ を求めよ。

座標平面上の円 $\mathrm{D}_1 : x^2 + y^2 = 64$ と円 $\mathrm{D}_2 : x^2 + (y-4)^2 = 9$ に関して，以下の設問に答えよ。

1. 座標平面上の3点 $(0,8)$，$(3\sqrt{7},1)$，$(-3\sqrt{7},1)$ を頂点とする三角形の外接円は $\mathrm{D}_1$ であり，内接円は $\mathrm{D}_2$ であることを示せ。

2. $\mathrm{D}_1$ が外接円であり，さらに $\mathrm{D}_2$ が内接円である任意の三角形 $\triangle \mathrm{ABC}$ に対して，実数 $\alpha$，$\beta$，$\gamma$ を $$\begin{aligned} \alpha &= \dfrac{\mathrm{AB} + \mathrm{BC} + \mathrm{CA}}{2} - \mathrm{BC},\\ \beta &= \dfrac{\mathrm{AB} + \mathrm{BC} + \mathrm{CA}}{2} - \mathrm{CA},\\ \gamma &= \dfrac{\mathrm{AB} + \mathrm{BC} + \mathrm{CA}}{2} - \mathrm{AB}\\ \end{aligned}$$ と定める。このとき $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 105$ が成り立つことを示せ。

$n$ を3以上の整数とする。正 $n$ 角形 $A$ の周の長さと円 $C$ の周の長さが等しいとき，$A$ の面積 $S$ と $C$ の面積 $T$ の大小を比べよ。

座標平面における領域 $$A= \{ (x,y) \mid y \geqq e^x \}$$ で定まる図形 $A$ を考える。$A$ に対して，原点を中心とする回転や平行移動を，何回か行って得られる図形を $n$ 個用意し，それぞれ $A_1, A_2, \cdots , A_n$ とする。

このとき，$A_1 , A_2 , \cdots , A_n$ により座標平面を覆うことのできる $n$ の最小値を求めよ。

平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ において，$\angle \mathrm{ABC} = \dfrac{\pi}{6}$，$\mathrm{AB} = a$，$\mathrm{BC} = b$，$a \leqq b$ とする。次の条件を満たす長方形 $\mathrm{EFGH}$ を考え，その面積を $S$ とする。

条件：点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ はそれぞれ辺 $\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$，$\mathrm{GH}$，$\mathrm{HE}$ 上にある。

ただし，辺はその両端の点も含むものとする。

1. $\angle \mathrm{BCG} = \theta$ とするとき，$S$ を $a,b, \theta$ を用いて表せ。
2. $S$ のとりうる値の最大値を $a,b$ を用いて表せ。

内接円の半径を $r$，外接円の半径を $R$ とおくとき，外心 $O$ と内心 $I$ との距離 $d$ は以下の式で表される：

$d^2=R^2-2Rr=R(R-2r)$

任意の三角形について，1つの内角の二等分線と，残り2つの外角の二等分線は1点で交わる。この点を傍心と言う。

• 三角形 $ABC$ の各頂点からの距離の和 $AF+BF+CF$ を最小にする点 $F$ をフェルマー点と言う。

• 最大角が $120^{\circ}$ 未満の三角形 $ABC$ において，フェルマー点は三角形の内部に存在して $\angle AFB=\angle BFC=\angle CFA=120^{\circ}$

任意の三角形 $ABC$ において，以下の9点は同一円周上にある。

• 3辺の中点 $A_M,B_M,C_M$
• 垂線の足 $A_H,B_H,C_H$
• 垂心と各頂点の中点 $A_N,B_N,C_N$

3つの円が互いに2点で交わるとき，3本の根軸は一点で交わる。

三角形 $ABC$ の内接円と辺 $BC$ の接点を $D$ とおく。$D$ から辺 $BC$ と垂直な直線と内接円の交点を $E$ とおく。さらに $AE$ と $BC$ の交点を $F$ とおくと，$BD=CF$

鋭角三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上に $\angle PAB=\angle BCA,$

$\angle CAQ=\angle ABC$ となるように取る。また，$AM$ の中点が $P$ ，$AN$ の中点が $Q$ となるように $M,N$ を取る。

このとき $BM$ と $CN$ の交点 $X$ が $ABC$ の外接円上にあることを証明せよ。

同一直線上の四点 $A,\:P,\:B,\:Q$ に対して複比を，

$(A,B;P,Q)=\dfrac{AP}{BP}\times\dfrac{BQ}{AQ}$ と定義する。

同一直線上に四点 $A,\:P,\:B,\:Q$ がこの順にあるとき，

1：$AP:PB=AQ:QB$ (線分 $AB$ を同じ比で内分する点 $P$ と外分する点 $Q$)

ならば四点 $A,\:P,\:B,\:Q$ を調和点列と言う。

中心 $O$，半径 $r$ の円 $\Gamma$ がある。このとき，円 $\Gamma$ による反転を以下のように定義する。

$P$ の行き先は，半直線 $OP$ 上の点で，$OP\times OP'=r^2$ を満たす点 $P'$

三角形 $ABC$ と $A'B'C'$ がある。このとき，

$AA'$，$BB'$，$CC'$ が1点 $O$ で交わる
→ $AB$ と $A'B'$ の交点 $P$，$BC$ と $B'C'$ の交点 $Q$，$CA$ と $C'A'$ の交点 $R$ は同一直線上にある。

三角形 $ABC$ と点 $P$ がある。

角の頂点を通る直線 $l$ と角の二等分線に関して対称な直線 $m$ を $l$ の等角共役線という。

$AP,\:BP,\:CP$ の等角共役線は一点で交わり，これを $P$ の等角共役点という。

三角形 $ABC$ の外側（または内側）に相似な二等辺三角形 $ABF,BCD,CAE$ をつくる。このとき，$AD,BE,CF$ は1点 $X$ で交わる。

任意の三角形 $ABC$ に対して， $$\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$$ を満たす点 $P$ が（三角形 $ABC$ の内部に）ただ1つ存在する。点 $P$ を三角形 $ABC$ のブロカール点と呼ぶ。

半径が $r_1,r_2,r_3,r_4$ である4つの円が互いに外接するとき， $$\left(\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}+\dfrac{1}{r_3}+\dfrac{1}{r_4}\right)^2=2\left(\dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac{1}{r_2^2}+\dfrac{1}{r_3^2}+\dfrac{1}{r_4^2}\right)$$

四角形 $\mathrm{ABCD}$ において，$AB=a$，$BC=b$，$CD=c$，$DA=d$，$\angle \mathrm{BAD}+ \angle \mathrm{BCD} = \theta$ とおくと，

四角形の $\mathrm{ABCD}$ の面積 $S$ は， $$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2 \left( \frac{\theta}{2} \right)}$$ ただし，$s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$ とおいた。

任意の三角形 $ABC$ において，3つの角の三等分線どうしが最初にぶつかる点を $P, Q, R$ とおくと，三角形 $PQR$ は正三角形である。

三角形 $ABC$ において $\angle B$ の二等分線と $AC$ の交点を $D$，$\angle C$ の二等分線と $AB$ の交点を $E$ とおく。

$BD=CE$ ならば $\angle B=\angle C$

互いに交わらない4つの円 $O_1,O_2,O_3,O_4$ がそれぞれ点 $A,B,C,D$ で別の円 $O$ に（この順番に）内接しているとき，円 $i$ と $j$ の共通外接線の長さを $l_{ij}$ とおくと，

$l_{12}\cdot l_{34}+l_{14}\cdot l_{23}=l_{13}\cdot l_{24}$

三角形 $ABC$ の内接円の半径を $r$ ,各頂点から対辺に下ろした垂線の長さを $h_A,h_B,h_C$ とおくと， $\dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{h_A}+\dfrac{1}{h_B}+\dfrac{1}{h_C}$

中心が $O$ である円に外接する四角形 $ABCD$ において対角線 $AC$ と $BD$ の中点をそれぞれ $M,\:N$ とおくと，$M,\:N,\:O$ は同一直線上にある。この直線をニュートン線と呼ぶ。

三角形 $ABC$ において内接円と各辺の接点を $D,E,F$ とおくとき，$AD,BE,CF$ は一点で交わる。この点をジュルゴンヌ点という。

3点 $ABC$ と直線 $BC$ 上の点 $D$，$CA$ 上の点 $E$，$AB$ 上の点 $F$ がある。この6点は全て異なるとする。

このとき，三つの円 $\Gamma(AEF)$，$\Gamma(BDF)$，$\Gamma(CDE)$ は一点で交わる。

$$\begin{cases} x(\theta) = 3 \sin \theta\\ y(\theta) = 2 \sin \left(2\theta + \dfrac{\pi}{6}\right) \end{cases}$$ と表されるリサージュ曲線で囲まれた領域の面積を求めよ。

正 $n$ 角形 $A_1A_2\dots A_n$ が半径 $1$ の円に内接しているとき，以下の1～4が成立する。

1. $\displaystyle\sum_{k=2}^n(A_1A_k)^2=2n$
2. $\displaystyle\prod_{k=2}^n(A_1A_k)=n$
3. $\displaystyle\sum_{k=2}^n(A_1A_k)^{2m}=n\times{}_{2m}\mathrm{C}_m\:(n>m>0)$
4. $\displaystyle\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{(A_1A_k)^2}=\dfrac{n^2-1}{12}$

正七角形の対角線（および辺）の長さを短い順に $a,b,c$ とすると， $$\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$$ が成立する。

ただ1つの図形で平面を敷き詰めることができる。特に周期性のない敷き詰め方ができる図形がある。

レムニスケート曲線とは，極方程式 $r^2 = a^2\cos 2\theta$ で表される曲線である。

しばしば連珠形ということもある。

図において，$M$ は弦 $AB$ の中点とする。 このとき，$MP=MQ$ となる。

$\mathbb{R}^3 \backslash \{ \mathrm{O} \}$ に次のように同値関係 $\sim$ を定める。

$(x,y,z) , (x' , y' , z') \in \mathbb{R}^3 \backslash \{ \mathrm{O} \}$ に対して
$(x,y,z) \sim (x' , y' , z') \iff$ ある $0$ でない実数 $k$ があって，$x = kx'$，$y = ky'$，$z = kz'$

この同値関係による商 $\mathbb{R}^3 \backslash \{ \mathrm{O} \} / \sim$ を射影平面 $\mathbb{R} P^2$という。