胡蝶定理（butterfly theorem）

4つの三角形の面積比について，

• $左上:右下 =MP\times MX_1:MQ\times MY_2$
• $右下:左下 =MY_2\times QY_2:MY_1\times PY_1$
• $左下:右上 =MY_1\times MP:MX_2\times MQ$
• $右上:左上 =MX_2\times QX_2:MX_1\times PX_1$

4つの式をすべてかけあわせると， $$MP^2\times QX_2\times QY_2=MQ^2\times PX_1\times PY_1$$ あとは，$MP,MQ$ 以外の余分なものの形を見て，方べきの定理を使うと， $$QX_2\times QY_2=QB\times QA=MB^2-MQ^2$$ $$PX_1\times PY_1=PA\times PB=MA^2-MP^2$$ 以上3つの式より， $$MP^2\times MB^2=MQ^2\times MA^2$$ つまり，$MA=MB$ なら $MP=MQ$

$AM=BM=m,PM=p,QM=q$ とおく。

（証明1の後半と全く同じだが）方べきの定理より， $$PX_1\times PY_1=m^2-p^2$$ $$QX_2\times QY_2=m^2-q^2$$ あとは，これらの左辺に登場する4つの辺の長さを，正弦定理で角度の情報（および $p,q$）で表す。

• $PX_1=\dfrac{p\sin\alpha}{\sin\gamma}$
• $PY_1=\dfrac{p\sin\beta}{\sin\delta}$
• $QX_2=\dfrac{q\sin\beta}{\sin\gamma}$
• $PY_2=\dfrac{q\sin\alpha}{\sin\delta}$

以上より，$$\dfrac{p^2}{q^2}=\dfrac{m^2-p^2}{m^2-q^2}$$ よって，$p=q$