正多角形の対角線の長さの偶数乗和と積

$A_k$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{a_k}$ とおく。

$\displaystyle\sum_{k=2}^n(A_1A_k)^2\\ =\displaystyle\sum_{k=2}^n(\overrightarrow{a_k}-\overrightarrow{a_1})\cdot (\overrightarrow{a_k}-\overrightarrow{a_1})\\ =\displaystyle\sum_{k=2}^n(|\overrightarrow{a_k}|^2+|\overrightarrow{a_1}|^2-2\overrightarrow{a_1}\cdot\overrightarrow{a_k})\\ =2n-2-2\overrightarrow{a_1}\cdot(\displaystyle\sum_{k=2}^n\overrightarrow{a_k})\\ =2n-2-2\overrightarrow{a_1}\cdot(\displaystyle\sum_{k=1}^n\overrightarrow{a_k})+2\\ =2n$

ただし，最後の等号では正多角形の対称性より $\displaystyle\sum_{k=1}^n\overrightarrow{a_k}=\overrightarrow{0}$ であることを用いた。

$|z|^2=z\overline{z}$ に注意すると，目標の式の左辺の二乗は

$$\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}|1-\zeta^k|^2=\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(1-\zeta^k)\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(1- \overline{\zeta}^k)$$ となる。ここで，$\overline{\zeta}^k=\zeta^{n-k}$ なので，右辺の1つめの $\prod$ 部分と2つめの $\prod$ 部分は，結局同じものの積になる等しい。よって，目標の式の左辺は $$\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(1-\zeta^k)$$ と等しい。ここで，$\zeta,...,\zeta^{n}$ は1の $n$ 乗根なので， $$z^n-1=\displaystyle\prod_{k=1}^n(z-\zeta^k)$$ となる。両辺を $z-1$ で割ると， $$(1+z+z^2+\cdots+z^{n-1})=\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(z-\zeta^k)$$ 両辺に $z=1$ を代入すると，赤文字の式が $n$ と等しいことがわかる。

$\zeta_k=\cos\dfrac{2\pi k}{n}+i\sin\dfrac{2\pi k}{n}$ とおくと，目標の式の左辺は

$$\begin{aligned}&\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\{|1-\zeta_k|^2\}^m\\ &=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\{|1-\zeta_k|^2\}^m\\ &=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(1-\zeta_k)^m(1-\overline{\zeta_k})^m\\ &=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(1-\zeta_k)^m(1-\zeta_k^{-1})^m\end{aligned}$$

ただし，最後の等号で $\overline{\zeta_k}=\zeta_k^{-1}$ を用いた（1のn乗根の性質と複素数平面 の3つめの性質）。

シグマの中身を二項定理で展開すると， $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left\{\displaystyle\sum_{p,q=0}^m(-1)^p{}_m\mathrm{C}_{p}\zeta_k^p(-1)^q{}_m\mathrm{C}_q\zeta_k^{-q}\right\}$$ となる。

• $p=q$ の項をだけ集めると， $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sum_{p=0}^m({}_m\mathrm{C}_p)^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n{}_{2m}\mathrm{C}_m=n\times{}_{2m}\mathrm{C}_m$$ となる。ただし，最初の等号は 二項係数の和，二乗和，三乗和 で紹介した有名公式を用いた。
• $p\neq q$ の各項は， $$(-1)^p{}_m\mathrm{C}_{p}\zeta_k^p(-1)^q{}_m\mathrm{C}_q\zeta_k^{-q}=A\zeta_k^{p-q}$$ と表せる。ただし，$A$ は（$p,q,m$ には依存するが）$k$ には依存しない定数。これを $k=1$ から $n$ まで足し上げると， $$A\sum_{k=1}^{n}\zeta_k^{p-q}=\dfrac{A\zeta_1^{p-q}(1-\zeta_1^{n(p-q)})}{1-\zeta_1^{p-q}}=0$$ ここで，1つめの等号は，等比数列の和の公式と，（$n>m$ より $-n < p-q < n$ なので）$\zeta_1^{p-q}\neq 1$ であることを用いた。2つめの等号は $\zeta_1^{n}=1$ を用いた。

3と同様に $\zeta_k=\cos\dfrac{2\pi k}{n}+i\sin\dfrac{2\pi k}{n}$ とおいて左辺を計算すると， $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{(1-\zeta_k)(1-\zeta_k^{-1})}$$ となる。分母分子に $\zeta_k$ をかけて部分分数分解すると，上式は $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{-\zeta_k}{(1-\zeta_k)^2}=-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{\zeta_k-1}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{(\zeta_k-1)^2}$$

となる。あとは $A=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{\zeta_k-1}$ と $B=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{(\zeta_k-1)^2}$ が計算できればよい。これは $\zeta_k-1$ たちの基本対称式の値から計算できる。

まず，$\zeta_k$ たちは $z^n-1=0$ の解であるので， $$\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(z-\zeta_k)=z^n-1$$ 両辺 $z-1$ で割って $z+1$ を改めて $z$ とすると， $$\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(z+1-\zeta_k)=\dfrac{(z+1)^n-1}{z}$$ 右辺は $n-1$ 次多項式であり，その根が $\zeta_k-1$ たちなので，解と係数の関係から，$\zeta_k-1$ の基本対称式の値がわかる。具体的には，右辺を二項定理で展開することで，

$\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(z+1-\zeta_k)\\=z^{n-1}+\cdots +\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}z^2+\dfrac{n(n-1)}{2}z+n$

より，

• $(\zeta_k-1)$ たちの $n-1$ 次の基本対称式（つまり積）は $S=(-1)^{n-1}n$
• $(\zeta_k-1)$ たちの $n-2$ 次の基本対称式は $T=(-1)^{n-2}\dfrac{n(n-1)}{2}$

なので，$$A=\dfrac{T}{S}=-\dfrac{n-1}{2}$$

さらに，$(\zeta_k-1)$ たちの $n-3$ 次の基本対称式は $U=(-1)^{n-3}\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$

なので， $$\begin{aligned}B&=A^2-\dfrac{2}{\sum_{k_1,k_2}{(\zeta_{k_1}-1)(\zeta_{k_2}-1)}}\\ &=\dfrac{(n-1)^2}{4}-2\times\dfrac{U}{S}\\ &=\dfrac{(n-1)^2}{4}-\dfrac{(n-1)(n-2)}{3}\\ &=\dfrac{3n^2-6n+3-4n^2+12n-8}{12}\\ &=\dfrac{-n^2+6n-5}{12}\end{aligned}$$

よって，示すべき式の左辺は $$-A-B=\dfrac{n^2-1}{12}$$