正多角形の内接円の半径・外接円の半径

以下の一般的な公式を証明します。

この公式に $\sin\theta,\tan\theta$ の具体的な値を代入すると冒頭の式たちが導出できます。ただし，正五角形では $36^{\circ}$ の三角比が必要で計算がめんどうです。→覚えておくと便利な三角比の値

さきほどの「一般的な公式」より，$r$ も $R$ も $n$ に関して単調増加であることがわかります。

さらに，辺の長さ $a$ を固定するのではなく，周の長さを固定して考えてみましょう。微分の良い練習問題になります。

証明してみましょう。

補足：$\dfrac{\theta}{\tan\theta}=\dfrac{\theta\cos\theta}{\sin\theta}$ の微分は $$\dfrac{(\cos\theta-\theta\sin\theta)\sin\theta-\theta\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=\dfrac{\cos\theta\sin\theta-\theta}{\sin^2\theta}$$ であるが，分母は $\dfrac{1}{2}(-2\theta+\sin 2\theta)$ と変形でき，$\theta>\sin\theta$ であることから導関数は負。

図形の真円度とは，正しい円からどれくらいズレているかを表す量です。

「その図形を含む最小の円の半径」と「その図形に含まれる最大の円の半径」の差で定義されることが多いです。

円の真円度は $0$ です。周の長さが $1$ である正多角形の真円度は， $$R(n)-r(n)=\dfrac{\theta}{2\pi\sin\theta}(1-\cos\theta)$$ です。さきほど見たように $R(n)$ は単調減少，$r(n)$ は単調増加なので真円度は単調減少です。また，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{R(n)-r(n)\}=0$ です。