接点間の距離に関する有名問題4問（共通接線上の長さなど）

図のような直角三角形 $O_1O_2H$ に三平方の定理を使うと，

$AB=O_1H=\sqrt{9^2-(5-3)^2}=\sqrt{77}$

図のような直角三角形 $O_1O_2H$ に三平方の定理を使うと，

$AB=\sqrt{9^2-(5+3)^2}=\sqrt{17}$

余弦定理で $\cos\theta$ を求めて，もう一度余弦定理で $AB$ を求める。

大きい三角形に余弦定理を使うと， $$\cos\theta=\dfrac{5^2+6^2-7^2}{2\times 5\times 6}=\dfrac{1}{5}$$ さらに，小さい三角形に余弦定理を使うと， $$AB^2=2^2+2^2-2\times 2\times 2\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{32}{5}$$ よって $AB=\dfrac{4\sqrt{10}}{5}$

直線との接点をそれぞれ $H_1,H,H_2$ とおく。

定理1より，

$H_1H=\sqrt{rr_1},\:H_2H=\sqrt{rr_2},\:H_1H_2=\sqrt{r_1r_2}$

よって， $$\sqrt{rr_1}+\sqrt{rr_2}=\sqrt{r_1r_2}$$

両辺を $\sqrt{rr_1r_2}$ で割ると， $$\dfrac{1}{\sqrt{r}}=\dfrac{1}{\sqrt{r_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{r_2}}$$