ブロカール点の意味とブロカール角の性質

$\angle B\geqq \angle C$ としても一般性を失わない。

1. $A$ を通り辺 $BC$ と $B$ で接する円 $\Gamma_1$ の弧 $AB$（で直線 $AB$ に関して $C$ と同じ側にある方）
2. $B$ を通り辺 $CA$ と $C$ で接する円 $\Gamma_2$ の弧 $BC$（で $B$ と同じ側にある方）

を考える。この2つは三角形 $ABC$ の内部で交わる（→理由は後述の補足）。この交点を $P$ とおくと，接弦定理より $$\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$$ である。逆に，三角形の内部の点 $P'$ について，3つの角度が等しいなら接弦定理の逆より $P'$ は上記2つの弧の上にある。よって，ブロカール点はただ一つ。

$$\dfrac{1}{\tan A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}\cdots(*)$$ である。これは余弦定理とサインの面積公式からわかる。そして，

• 1の右辺は $(*)$ のような式を3つ足し合わせることで $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}$ と等しいことがわかる。ここまでの流れはタンジェントの美しい関係式の(iii)にもあるように比較的有名。
• 1の左辺は，3つの小さい三角形にそれぞれ $(*)$ を使うと， $$\dfrac{4S_{PAB}}{\tan\omega}=PA^2+c^2-PB^2\\ \dfrac{4S_{PBC}}{\tan\omega}=PB^2+a^2-PC^2\\ \dfrac{4S_{PCA}}{\tan\omega}=PC^2+b^2-PA^2$$ これらをたし合わせると， $$\dfrac{4S}{\tan\omega}=a^2+b^2+c^2$$ となり $4S$ で割ると1の左辺も $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}$ と等しいことがわかる。

1の証明の途中式より $$\dfrac{1}{\tan^2\omega}=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{16S^2}$$ ここで，ヘロンの公式の「辺の長さが無理数の場合」版より

$$\dfrac{1}{\tan^2\omega}=\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)}$$

次に，$a^4+b^4+c^4=x,a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=y$ とおくと，

$$\dfrac{1}{\tan^2\omega}=\dfrac{x+2y}{2y-x}$$

目標は，$\omega\leqq 30^{\circ}$ だが，明らかに $\tan\omega< 90^{\circ}$ なので $\dfrac{1}{\tan^2\omega}\geqq 3$ を示せば十分。つまり，示すべき式は $$x+2y\geqq 3(2y-x)$$ これは $x\geqq y$ と同値だが，有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+ca より成立。

鋭角三角形の場合で証明する。

$f(x)=\dfrac{1}{\tan x}$ とおく。

$f''(x)=\dfrac{2}{\tan x\sin^2 x}$

より，$0< x< \dfrac{\pi}{2}$ では二階微分は正。つまり上に凸。よって，イェンゼンの不等式より，

$f(A)+f(B)+f(C)\geqq 3f\left(\dfrac{A+B+C}{3}\right)$

つまり，

$\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C}\geqq \dfrac{3}{\sqrt{3}}$

これと $1$ より $\tan\omega\leqq\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

つまり $\omega\leqq 30^{\circ}$