デカルトの円定理と2通りの証明

$r_1=r_2=r_3=1$ としてデカルトの円定理を使う。$k=\dfrac{1}{r}$ とおくと， $$(3+k)^2=2(3+k^2)$$ この2次方程式を解くと， $$k^2-6k-3=0$$ $$k=3\pm\sqrt{12}$$ $k>0$ より $r=\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{3+2\sqrt{3}}$

デカルトの円定理で，1つの円の半径を $\to\infty$ とすると，3つの円と直線が接する状況になり，以下の式が成立する： $$\left(\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}\right)^2=2\left(\dfrac{1}{r^2}+\dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac{1}{r_2^2}\right)$$ これを $\dfrac{1}{r}=k$ について解く。$\dfrac{1}{r_i}=k_i$ とおいて整理すると， $$(k+k_1+k_2)^2=2(k^2+k_1^2+k_2^2)$$ $$k^2-2k(k_1+k_2)+k_1^2+k_2^2-2k_1k_2=0$$ $$k=(k_1+k_2)\pm\sqrt{(k_1+k_2)^2-(k_1^2+k_2^2-2k_1k_2)}\\=(\sqrt{k_1}\pm\sqrt{k_2})^2$$ ここで，$r<r_1$ より $k>k_1$ なので $\sqrt{k}=\sqrt{k_1}+\sqrt{k_2}$

1. まず，$k_i=\dfrac{1}{r_i}$ とおくと，$$(T_{12}T_{13})^2=\dfrac{4}{(k_1+k_2)(k_1+k_3)}$$ である。これは 接点間の距離に関する有名問題4問 の定理3で紹介しているが，余弦定理を2回使って簡単に導出できる。他の2辺も同様に計算できて，辺の比は $$(T_{12}T_{13})^2:(T_{13}T_{14})^2:(T_{12}T_{14})^2\\ =k_1+k_4:k_1+k_2:k_1+k_3$$

2. 三角形 $T_{12}T_{13}T_{14}$ について，3辺の長さ（の比）がわかったので $\cos$ がわかる。よって $\sin$ もわかる。一方，三角形の各頂点は $O_1$ 上にあるので，外接円の半径は $r_1$ である。よって，正弦定理より $$\dfrac{T_{12}T_{13}}{\sin\angle T_{12}T_{14}T_{13}}=2r_1$$ これで $r_1$ から $r_4$ の間の関係式が得られる。あとは計算するだけ。両辺2乗して変形すると $$(T_{12}T_{13})^2=4r_1^2\sin^2\angle T_{12}T_{14}T_{13}$$ $$k_1^2(T_{12}T_{13})^2=4(1-\cos^2\angle T_{12}T_{14}T_{13})$$ $$\dfrac{4k_1^2}{(k_1+k_2)(k_1+k_3)}=4-4\cos^2\angle T_{12}T_{14}T_{13}$$ 一方，1の結果と余弦定理より， $\cos^2\angle T_{12}T_{14}T_{13}\\ =\dfrac{\{(k_1+k_2)+(k_1+k_3)-(k_1+k_4)\}^2}{4(k_1+k_2)(k_1+k_3)}\\ =\dfrac{(k_1+k_2+k_3-k_4)^2}{4(k_1+k_2)(k_1+k_3)}$
   以上より $k_1$ から $k_4$ までの等式を得る： $$4k_1^2=4(k_1+k_2)(k_1+k_3)-(k_1+k_2+k_3-k_4)^2$$ 展開すると， $$\begin{aligned}&k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2\\ &=2(k_1k_2+k_1k_3+k_1k_4+k_2k_3+k_2k_4+k_3k_4)\end{aligned}$$ を得る。目標の式は $$(k_1+k_2+k_3+k_4)^2=2(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2)$$ だが，左辺を展開するとさきほど得た式と一致する。

三角形 $O_1O_2O_3$ は，3辺の長さが $r_1+r_2,r_2+r_3,r_3+r_1$ であるので，ヘロンの公式を使うと面積は， $$S_{O_1O_2O_3}=\sqrt{r_1r_2r_3(r_1+r_2+r_3)}$$ また，大きい三角形を3つの小さい三角形に分割することで， $$S_{O_1O_2O_3}=S_{O_1O_2O_4}+S_{O_1O_3O_4}+S_{O_2O_3O_4}$$ 他の三角形の面積も同様に計算できて，両辺を $\sqrt{r_1r_2r_3r_4}$ で割って，$s=r_1+r_2+r_3+r_4$ とおくと， $$\sqrt{\dfrac{s-r_4 }{r_4}}=\sqrt{\dfrac{s-r_3}{r_3}}+\sqrt{\dfrac{s-r_2}{r_2}}+\sqrt{\dfrac{s-r_1}{r_1}}$$ を得る。頑張って根号を外すなど計算(→補足)すると，デカルトの円定理の式を得る。