$$x^2 + 127 = 2^y$$

【$y$ が偶数の場合】

$y = 2k$ とおくと

$$(2^k - x)(2^k + x) = 127。$$

$127$ は素数だから，($x < 2^k$ に注意して，)

$$2^k - x = 1, \quad 2^k + x = 127。$$

辺々足して $2^{k + 1} = 128$，つまり $k = 6$ を得る。

【$y$ が奇数の場合】

$y = 2k + 1$ とおくと

$$(x - 1)(x + 1) = 2^7(2^{k - 3} - 1)(2^{k - 3} + 1)。$$

$x - 1, x + 1$ のいずれか一方は $2^6$ の倍数。一般性を損なわずに $x - 1 = 2^6 A$ とおいてよい。また簡単のために $2^{k - 3} - 1 = B$ とおく。そうすると

$$2^6A(2^6A + 2) = 2^7 B(B + 2), \quad 32A^2 + A - B(B + 2) = 0。$$

$A$ に関する $2$ 次方程式とみたときの判別式は

$$\Delta = 1 + 4B(B + 2) = 4B^2 + 8B + 1。$$

$B > 0$ ならば

$$(2B + 1)^2 < \Delta < (2B + 2)^2$$

だから，$\Delta$ は平方数でない。ところが $A$ は整数だから $\Delta$ は平方数でなければならない。よって $B = 0$ を得る。

以上から $(x,y) = (1,7),(63,12)$。