【解答・解説】東大理系数学2025 第4問

$n > a$ であると仮定する。

このとき $n-a > 0$ である。$n^2$ の次の平方数は $n^2+2n+1$ である。一方， $$0 < n-a < n < 2n+1$$ であるため， $$n^2 < f_a (n) < (n+1)^2$$ である。よって，$n > a$ であれば $f_a (n)$ は平方数ではない。対偶を取ることで題意を得る。

(1) より $a \geqq n$ である。

$n^2+n-a = m^2$ とおく。（$m$ は正の整数）

このとき次の式が成立する。 $$4n^2+4n-4m^2+1 = 4a+1$$ 左辺を因数分解すると $$(2n-2m+1)(2n+2m+1) = 4a+1 \ \cdots (\ast)$$ を得る。

また，$f_a (a) = a^2$ は平方数であるため，$N_a \geqq 1$ である。

• (ii) $\Rightarrow$ (i)

今 $4a+1$ は素数であるため， $$(2n-2m+1,2n+2m+1)=(\pm 1, \pm (4a+1))$$ （複合同順）である。

$2n-2m+1 < 2n+2m+1$，$2n+2m+1 > 0$ から $2n-2m+1 = 1$，$2n+2m+1 = 4a+1$ となる。

方程式を解いて $n=m = a$ と一位に定まる。よって $N_a = 1$ である。

• (i) $\Rightarrow$ (ii)

対偶を取り，$4a+1$ が素数ではない仮定の下で議論をする。

$4a+1$ が合成数であることと，$(\ast)$ より $$\begin{cases} 2n-2m+1 = p\\ 2n+2m+1 = q\\ pq = 4a+1 \end{cases}$$ を満たす $1$ ではない整数 $p,q$ が存在する。

上の方程式を解くと $n = \dfrac{p+q-2}{4}, m = \dfrac{p+q}{4}$ を得る。

このとき $n$ が整数であることを示せば，$n = a$ と合わせて $N_a \geqq 2$ となり，対偶が従う。

さて，$p,q$ を $4$ で割った余りをそれぞれ $p',q'$ とする。$pq$ は奇数であるため，$p,q$ どちらも素数であるため $$(p',q') = (1,1),(1,3),(3,1),(3,3)$$ のいずれかである。$pq = 4a+1$ より，$p'q'$ を $4$ で割った余りは $1$ である。これを満たすものは $(p',q') = (1,1),(3,3)$ である。

どちらの場合も $p+q$ を $4$ で割った余りは $2$ となり，$p+q+2$ は $4$ の倍数である。こうして $n$ は整数であることが分かった。

以上より題意が示される。