$2024$ の出てくる問題を作ろうと思って作ってみたのですが整数があまり得意ではなく、解くのに難航しています。

ご教授いただきありがとうございます。

なんとなく常人では無理そうな気配はしていたのですが、やっぱり厳しいですか...

強いABC予想の主張で $e$ の範囲が絞れるとのことですが、詳しく教えていただけませんか？浅学なもので、どのように示せるのかがさっぱりわかりません。

計算が複雑でミスをしていて、正しくは6<e<32でした。🙇

強いABC予想の主張は、「自然数$a,b,c$が$a+b=c$を満たすとき、$c<(rad(abc))^2$となる」です。

$rad(n)$とは$n$の異なる素因数の積であり、具体的には

$rad(2^3*3^{11}*13)=2*3*13=78$のような感じです。

$a,b,c$それぞれに、$d^4,127,2^e$を代入します。

これらは$d^4+127=2^e$を満たすので、ABC予想の主張より、$2^e<(rad(d^4*127*2^e))^2$が成り立ちます。

「$dの素因数全部,127,2$」が$d^4*127*2^e$の素因数ですが、$d$の素因数は具体的にはわかりません。そこで、$d$の素因数全部の積は$d$よりも小さいことを利用すると、$rad(d^4*127*2^e)<2*127*d$が得られます。

よって、$2^e<(2*127*d)^2$が成り立ちます。両辺2乗すると、

$2^2e<2^4*127^4*d^4=2^4*127^4*(2^e-127)$

この不等式を解くと、$6<e<32$です。

ご教授ありがとうございます。

実は今回の問題は、友人に高2向けに数学の実力テストを作ってほしいと依頼されて作っているときにできてしまった問題でして、もちろんこんな難問ではなく普通に解ける問題をテストには入れたのですが、どうしてもこの問題が気になって質問した次第です。

解決していただいてありがとうございます。