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東大文系数学2016入試過去問解答解説

更新日時 2021/05/26

※以下の解答と解説は東京大学が公表したものではなく,当サイトオリジナルのものです。

この記事では,東京大学の2016年度入学試験の文系数学について解説します。

目次
  • 第一問 [平面図形,領域]

  • 第二問 [確率]

  • 第三問 [二次関数,図形の最大最小]

  • 第四問 [整数,数列]

第一問 [平面図形,領域]

第一問

座標平面上の 33P(x,y)\mathrm{P} (x,y),点 Q(x,y)\mathrm{Q} (-x,-y),点 R(1,0)\mathrm{R} (1,0) が鋭角三角形をなすための (x,y)(x,y) についての条件を求めよ。また,その条件をみたす点 P(x,y)\mathrm{P} (x,y) の範囲を図示せよ。

図形の問題で問題文は座標で与えられていますが,座標だけで解く必要はありません。

図形の問題を解くときの意識の持ち方として,幾何の定理,座標的な考え方(図形と式の分野で習うこと),ベクトルの考え方の3つを問題や状況に応じてうまく使いわけようとすることが大切です。

今回,角度が関係していて,特に直角が関わっています。それぞれの解法で直角の処理の仕方を考えていきましょう。

まず幾何からです。幾何の解法は思いつくとエレガントに解けますが,往々にして沼にハマってしまい,解けないことがあります。

座標やベクトルと比べて,全体像が見えていない時に解き進めるのには不向きですが,気づくとかなり楽に解けるという印象を持っておきましょう。

本問では鋭角になることが条件ですが,それだけで解法に気づくのは難しいです。

しかし,図を見ると全ての点が他の 22 点のなす辺を直径とする円の外側にあると考えられることに気づけるでしょう。

R\mathrm{R} の条件についてはわかりやすく,点 R\mathrm{R} が辺 PQ\mathrm{PQ} を直径にもつ円の外側にあることですが,角 P,Q\mathrm{P,Q} をどう処理するかがポイントです。

第一問 幾何・座標を用いた解法

まず,三角形になるための条件は 33 点が同一直線上にないことである。

そのための点 P,Q,R\mathrm{P,Q,R} の条件は,点 P,O,Q\mathrm{P,O,Q} が同一直線上にあることから,点 P,Q\mathrm{P,Q} が直線 OR\mathrm{OR} 上にないことであり, y0(1)y \ne 0 \tag{1} となる。

次に,鋭角三角形の条件は全ての角が 9090^\circ 未満になることなので,それぞれの点が,他の 22 点のなす辺を直径にもつ円の外側にあるといえる。

まず角 R\mathrm{R} について,辺 PQ\mathrm{PQ} を直径にもつ円は半径が OP\mathrm{OP} である。

R\mathrm{R} がこの円の外にある条件は,半径が1より小さいことであり,P(x,y)\mathrm{P}(x,y) より

x2+y2<1(2) x^2 + y^2 < 1 \tag{2}

次に,角 P,Q\mathrm{P,Q} の条件だが,辺 PQ\mathrm{PQ} 上に 点 O\mathrm{O} があるので,

QPR=RPOPQR=RQO \angle \mathrm{QPR} = \angle \mathrm{RPO} \\ \angle \mathrm{PQR} = \angle \mathrm{RQO}

となる。

よって,角 P,Q\mathrm{P,Q} が鋭角になる条件は,下図のように点 P,Q\mathrm{P,Q}OR\mathrm{OR} を直径にもつ円の外側にあることである。

第一問_2

OR=1\mathrm{OR}=1 より,点 P,Q\mathrm{P,Q}(12,0)\left( \dfrac{1}{2} ,0 \right) の距離が 12\dfrac{1}{2} より大きいことが条件で,

以上 (1)(1)(4)(4) を図示して,以下(境界は全て含まず)。

第一問_1

P,Q\mathrm{P,Q} を,定点 O,R\mathrm{O,R} を用いて表せることに気づけるかがポイントでした。

次に,ベクトルの考え方です。角度の条件はベクトルを使って考えるのが一般的でしょう。今回は全ての内角が鋭角ですから,内積が正になる条件として処理します。

第一問 ベクトルを用いた解法

まず,三角形になるための条件は 33 点が同一直線上にないことである。

そのための点 P,Q,R\mathrm{P,Q,R} の条件は,点 P,O,Q\mathrm{P,O,Q} が同一直線上にあることから,点 P,Q\mathrm{P,Q} が直線 OR\mathrm{OR} 上にないことであり,y0    (1)y \ne 0\ \ \ \ (1) となる。

このもとで,PQR\triangle \mathrm{PQR} は鋭角三角形なので PQundefinedPRundefined , QPundefinedQRundefined , RPundefinedRQundefined>0 \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PR}} \ , \ \overrightarrow{\mathrm{QP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QR}} \ , \ \overrightarrow{\mathrm{RP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RQ}} >0

が成立する。ここで,

PQundefinedPRundefined= (2x,2y)(1x,y)=2(x2x+y2)QPundefinedQRundefined= (2x,2y)(1+x,y)=2(x2+x+y2)RPundefinedRQundefined= (x1,y)(x1,y)=1x2y2\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PR}} = &\ (-2x , -2y) \cdot (1-x , -y) = 2(x^2 - x + y^2) \\ \overrightarrow{\mathrm{QP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QR}} = &\ (2x , 2y) \cdot (1+x , y) = 2(x^2 + x + y^2)\\ \overrightarrow{\mathrm{RP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RQ}} = &\ (x-1 , y) \cdot (-x-1 , -y) = 1 - x^2 -y^2 \end{aligned}

より,

{2(x2x+y2)>02(x2+x+y2)>01x2y2>0{(x12)2+y2>(12)2(x+12)2+y2>(12)2 x2+y2<1(2) \begin{cases} 2(x^2 - x + y^2)>0 \\ 2(x^2 + x + y^2)>0 \\ 1 - x^2 -y^2>0 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left( x - \dfrac{1}{2} \right)^2 + y^2 > \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 \tag{2}\\ \left( x + \dfrac{1}{2} \right)^2 + y^2 > \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 \\ \ x^2 + y^2 < 1 \end{cases}

以上 (1),(2)(1),(2) より以下斜線部(境界は含まず)。

第一問_1

第二問 [確率]

第二問

A,B,C\mathrm{A,B,C}33 つのチームが参加する野球の大会を開催する。以下の方式で試合を行い,2連勝したチームが出た時点で,そのチームを優勝チームとして大会は終了する。

(a)\mathrm{(a)}  1\ 1 試合目で A\mathrm{A}B\mathrm{B} が対戦する。

(b)\mathrm{(b)}  2\ 2 試合目で,11 試合目の勝者と,11 試合目で待機していた C\mathrm{C} が対戦する。

(c)\mathrm{(c)}  k\ k 試合目で優勝チームが決まらない場合は,kk 試合目の勝者と,kk 試合目で待機していたチームが k+1k+1 試合目で対戦する。ここで,kk22 以上の整数とする。

なお,すべての対戦において,それぞれのチームが勝つ確率は 12\dfrac{1}{2} であり,引き分けはないものとする。

(1)(1) ちょうど 55 試合目で A\mathrm{A} が優勝する確率を求めよ。

(2)(2) nn22 以上の整数とする。ちょうど nn 試合目でA\mathrm{A} が優勝する確率を求めよ。

(3)(3) mm を正の整数とする。総試合数が 3m3m 回以下で,A\mathrm{A} が優勝する確率を求めよ。

(1)(1) 55 試合であれば直接求めることも難しくないので,実際に勝者を書き出してパターンを考えてみましょう。

二連勝で優勝なので,前の試合で勝ち残ったチームではないチームが勝つとゲームが続行されることに注意しましょう。

第二問 (1)

44 試合目までは勝敗が決まらないので,初戦で A\mathrm{A} が勝ったとすると,ACBA\mathrm{A C B A} の順で勝ち,55 試合目に A\mathrm{A} が勝つことで優勝が決まる。

次に初戦で B\mathrm{B} が勝ったとすると,BCAB\mathrm{B C A B} の順で勝ち,55 試合目に B\mathrm{B} が勝つことで 55 試合目に優勝は決まるが,A\mathrm{A} は優勝できない。

よって A\mathrm{A} が優勝するには ACBAA\mathrm{A C B A A} の順で勝つしか方法がなく,

それぞれの勝つ確率は 12\dfrac{1}{2} なので,求める確率は

(12)5=132 \left( \dfrac{1}{2} \right)^5 = \dfrac{1}{32}

(2)(2) (1)(1) より A\mathrm{A} が優勝できる場合とできない場合があることがわかったでしょう。この違いは初戦の勝者によって出てくるので,初めに A,B\mathrm{A,B} のどちらが勝つかで場合分けをして考えてみましょう。

第二問 (1)

()(ⅰ) 初戦で A\mathrm{A} が勝つとき

優勝が決まらないようにするためには,A,C,B,A,C,B,\mathrm{A,C,B,A,C,B,} \cdots と勝ち続けなければならない。

この場合,A\mathrm{A} が優勝するのは ,A,C,B,A,A\cdots \mathrm{,A,C,B,A,A} と勝つ場合であり,これは n=3m1(mN)n=3m-1 (m \in \mathbb{N} ) のときであり,確率は

(12)n \left( \dfrac{1}{2} \right)^n

である。

()(ⅱ) 初戦で B\mathrm{B} が勝つとき

優勝が決まらないようにするためには,B,C,A,B,C,A\mathrm{B,C,A,B,C,A} \cdots の順で勝ち続けないといけない。

この場合,A\mathrm{A} が優勝するのは ,B,C,A,A\cdots \mathrm{,B,C,A,A} と勝つ場合であり,これは n=3m+1(mN)n=3m+1 (m \in \mathbb{N} ) のときであり,確率は

(12)n \left( \dfrac{1}{2} \right)^n

である。

以上と n2n\geqq2 より,求める確率は

nn33 の倍数のとき 00 ,そうでないとき (12)n\left( \dfrac{1}{2} \right)^n

()(ⅱ)n=3m+1(mN)n=3m+1 (m \in \mathbb{N} ) のときであり,n=1n=1 は含まないので,最後に n2n\geqq2 を考えていることを明記しましょう。

(3)(3) (2)(2) の二つの場合分けから,()(ⅰ) の場合は 2,5,8,,3m12,5,8,\cdots,3m-1 試合目に優勝が決まりうること,()(ⅱ) の場合は 4,7,10,,3m24,7,10,\cdots,3m-2 試合目に優勝が決まりうることがわかります。

それぞれの確率を足しましょう。

第二問 (3)

(2)(2)()(ⅰ) の場合の確率の合計は

k=1m(12)3k1=141(18)m118=27{1(18)m}\begin{aligned} \sum^{m}_{k=1} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3k-1} =& \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1- \left( \dfrac{1}{8} \right)^m }{1 - \dfrac{1}{8} } \\ =& \dfrac{2}{7} \left\{ 1 - \left( \dfrac{1}{8} \right)^m \right\} \end{aligned}

(2)(2)()(ⅱ) の場合の確率の合計は

k=1m1(12)3k+1=1161(18)m118=114{1(18)m}\begin{aligned} \sum^{m-1}_{k=1} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3k+1} =& \dfrac{1}{16} \cdot \dfrac{1- \left( \dfrac{1}{8} \right)^m }{1 - \dfrac{1}{8} } \\ =& \dfrac{1}{14} \left\{ 1 - \left( \dfrac{1}{8} \right)^m \right\} \end{aligned}

これら二つの和が求める確率で,

27{1(18)m}+114{1(18)m}=51467(18)m\begin{aligned} &\dfrac{2}{7} \left\{ 1 - \left( \dfrac{1}{8} \right)^m \right\} + \dfrac{1}{14} \left\{ 1 - \left( \dfrac{1}{8} \right)^m \right\} \\ =& \dfrac{5}{14} - \dfrac{6}{7} \left( \dfrac{1}{8} \right)^m \end{aligned}

優勝が決まらない間は勝つチームの順番が周期になっていることに気づけるかどうかが鍵となる問題でした。この問題のように 一見規則がわかりにくい確率や場合の数などの問題では nn が小さい値の場合を考えて規則を把握し,それを一般化して nn が大きい値の場合を考えるのが有効 です。

第三問 [二次関数,図形の最大最小]

第三問

座標平面上の 22 つの放物線

A: y=x2B: y=x2+px+q\begin{aligned} A&:\ y = x^2 \\ B&:\ y = -x^2 + px + q \end{aligned}

が点 (1,1)(-1,1) で接している。ここで,ppqq は実数である。さらに,tt を正の実数とし,放物線 BBxx 軸の正の向きに 2t2tyy 軸の正の向きに tt だけ平行移動して得られる放物線を CC とする。

(1)(1) ppqq の値を求めよ。

(2)(2) 放物線 AACC が囲む領域の面積を S(t)S(t) とする。ただし, AACC が領域を囲まないときは S(t)=0S(t) = 0 と定める。S(t)S(t) を求めよ。

(3)(3) t>0t>0 における S(t)S(t) の最大値を求めよ。

この問題は全問通じてとても簡単です。言われた通りに条件を数式に落としていくだけです。

第三問(1)

f(x)=x2,g(x)=x2+px+qf(x) = x^2, g(x) = -x^2 + px + q とおく。点 (1,1)(-1,1) で接していることから, {g(1)=1f(1)=g(1) \begin{cases} g(1) = 1\\ f'(-1) = g'(-1) \end{cases} 1+p+q=1 \therefore -1 + p + q = 1 また,f(x)=2x,g(x)=2x+pf'(x) = 2x, g'(x) = -2x + p から, 2=2+p -2 = 2 + p これらを合わせて, p=4,q=2 p = -4, q = -2

この問題において一つポイントがあるとすれば,(2)の積分の計算だと思います。1/6公式を知らないと,計算がかなり大変になるでしょう。

第三問 (2)

問題の条件から,CC を表す式は yt=(x2t)2+p(x2t)+q=(x2t)24(x2t)2y=x2+(4t4)x4t2+9t2\begin{aligned} y - t &= -(x-2t)^2 + p(x - 2t) + q\\ &= -(x-2t)^2 -4(x - 2t) -2\\ \therefore y &= -x^2 + (4t-4)x -4t^2 + 9t - 2 \end{aligned}

さて,A,CA,C の共有点が二つあるときというのは, x2+(4t4)x4t2+9t2=x2(1) -x^2 + (4t-4)x -4t^2 + 9t - 2 = x^2 \tag{1} の方程式の判別式 DD が正,つまり D4=(2t2)2+2(4t2+9t2)=4t2+10t>00<t<52\begin{aligned} \dfrac{D}{4} &= (2t-2)^2 + 2(-4t^2 + 9t - 2)\\ &= -4t^2 + 10t > 0\\ \therefore 0 &< t < \dfrac{5}{2} \end{aligned} となるときである。このとき,式 (1)(1) の解を α,β\alpha, \beta とかくことにすると, S(t)=αβ2(xα)(xβ)dx=216(βα)3=13(4t2+10t)3\begin{aligned} S(t) &= \int_\alpha^\beta -2(x-\alpha)(x-\beta)dx\\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 \\ &= \dfrac{1}{3}\left(\sqrt{-4t^2 + 10t}\right)^3 \end{aligned}

共有点が0個,または1個のときは S(t)=0S(t) = 0 であるから, S(t)={13(4t2+10t)3/2(0<t<52)0(t52) S(t) = \begin{cases} \dfrac{1}{3}\left(-4t^2 + 10t\right)^{3/2} & \left(0 < t < \dfrac{5}{2}\right)\\ 0 & \left(t \geq \dfrac{5}{2}\right) \end{cases}

第三問 (3)

S(t)S(t) が最大になるのは,4t2+10t-4t^2 + 10t が最大になるときであるから,この二次関数が最大になるような状況を考える。 4t2+10t=4(t54)2+254 -4t^2 + 10t = -4 \left(t - \dfrac{5}{4}\right)^2 + \dfrac{25}{4} より,t=54(<52)t = \dfrac{5}{4} \left(< \dfrac{5}{2}\right) のとき,S(t)S(t) は最大であり,その値は, 131258=12524 \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{125}{8} = \dfrac{125}{24}

焦らず,一つずつ考えていけば,何も難しいところはないはずです。

第四問 [整数,数列]

第四問

以下の問いに答えよ。ただし,(1)(1) については,結論のみを書けばよい。

(1) nn を正の整数とし,3n3^n1010 で割った余りを ana_n とする。ana_n を求めよ。

(2) nn を正の整数とし,3n3^n44 で割った余りを bnb_n とする。bnb_n を求めよ。

(3) 数列 {xn}\left\{x_n\right\} を次のように定める。 x1=1,xn+1=3xn(n=1,2,3,) x_1 = 1, \quad x_{n+1} = 3^{x_n} \quad (n = 1,2,3,\cdots) x10x_{10}1010 で割った余りを求めよ。

第三問に引き続き,難しいところはありません。まずは(1)ですが,具体的に何個か実験をしてみれば,すぐに規則性が見えて解くことができるでしょう。

第四問(1)

(1)では合同式において,以下 1010 を法として考える。 313329337341353\begin{aligned} 3^1 &\equiv 3\\ 3^2 &\equiv 9\\ 3^3 &\equiv 7\\ 3^4 &\equiv 1\\ 3^5 &\equiv 3 \end{aligned} となって,353^533 に戻るので,周期 44 のループができていて, an={3(n1(mod 4))9(n2(mod 4))7(n3(mod 4))1(n0(mod 4)) a_n = \begin{cases} 3 & (n \equiv 1 \quad (\mathrm{mod} \ 4 ))\\ 9 & (n \equiv 2 \quad (\mathrm{mod} \ 4 ))\\ 7 & (n \equiv 3 \quad (\mathrm{mod} \ 4 ))\\ 1 & (n \equiv 0 \quad (\mathrm{mod} \ 4 )) \end{cases}

(2)は(1)と全く同様にやれば解けてしまいます。

第四問(2)

(2)では合同式において,以下 44 を法として考える。 313321333\begin{aligned} 3^1 &\equiv 3\\ 3^2 &\equiv 1\\ 3^3 &\equiv 3 \end{aligned} となって,333^333 に戻るので,周期 22 のループができていて, bn={3(n1(mod 2))1(n0(mod 2)) b_n = \begin{cases} 3 & (n \equiv 1 \quad (\mathrm{mod} \ 2 ))\\ 1 & (n \equiv 0 \quad (\mathrm{mod} \ 2 )) \end{cases}

(3)も,(1)と(2)の流れを汲んで,必ず解けなければなりません。誘導が丁寧なのですぐ気づけるとは思いますが。

第四問(3)

n1n \geq 1 に対して xnx_n は奇数,つまり, xn1(mod 2) x_n \equiv 1 \quad (\mathrm{mod} \ 2) であるから,(2)の結果より,n1n \geq 1 のとき,3xn3^{x_n}3xn3(mod 4) 3^{x_n} \equiv 3 \quad (\mathrm{mod} \ 4) である。さらに,(1)の結果より,n2n \geq 2 のとき,3xn3^{x_n}3xn3(mod 4) 3^{x_n} \equiv 3 \quad (\mathrm{mod} \ 4) よって,xn3x_n \geq 3 のとき, xn7(mod 10) x_n \equiv 7 \quad (\mathrm{mod} \ 10) であるから,x10x_{10}1010 で割った余りも 77 となる。

問題の意味がわかりづらいと感じたら,一旦実験してみるということは大事です。

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