ABC予想の主張の解説

$\text{rad} (n)$ は，$n$ の互いに異なる素因数の積を表します。例えば， $$\begin{aligned} \text{rad} (36) &= \text{rad} (2^2 \cdot 3^2) = 2 \cdot 3 = 6\\ \text{rad} (150) &= \text{rad} (2 \cdot 3 \cdot 5^2) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\\ \text{rad} (97) &= \text{rad} (97) = 97\\ \end{aligned}$$

以下，ABC予想に登場する $\text{rad} (abc)$ を $d$ とおきます。いくつかの $(a, b, c)$ について，$d = \text{rad} (abc)$ を計算してみましょう。 $$\begin{aligned} (a, b, c) &= (1, 2, 3) \Longrightarrow d = \text{rad} (2 \cdot 3) = 6 \\ (a, b, c) &= (3, 5, 7) \Longrightarrow d = \text{rad} (3 \cdot 5 \cdot 7) = 105 \\ (a, b, c) &= (5, 27, 32) \Longrightarrow d = \text{rad} (2^5 \cdot 3^3 \cdot 5) = 30 \\ (a, b, c) &= (1, 63, 64) \Longrightarrow d = \text{rad} (2^6 \cdot 3^2 \cdot 7) = 42 \end{aligned}$$

このように計算される $d$ について，どんなに小さい $\epsilon > 0$ をとってきたとしても，$c > d^{1+\epsilon}$ をみたすような $(a, b, c)$ の組はたかだか有限個しか存在しない，というのがABC予想です。

主張の意味は高校レベルの知識で理解できますが，とても強い命題であり，ここから多くの重要な結果が得られることが知られています。この記事の最後に述べるフェルマーの最終定理はその一例です。

$\epsilon = 0$ の場合は，ABC予想の不等式は成立しません。すなわち，$c > d$ を満たすような $(a, b, c)$ の組は無限個存在します。これを証明してみます。

注：途中で用いた不等式 $$\frac{\text{rad}(s) \text{rad}(t)}{p} \geqq \text{rad}(st)$$ の理由を述べます。これは $\text{rad}(s)\text{rad}(t), \text{rad}(st)$ を計算する際，前者において $p$ は2回掛けられていますが，後者においては1回しか掛けられていないことからわかります。

ABC予想は，$c > d$ となるような $(a, b, c)$ の組は無限に存在するにも関わらず，どんなに小さい $\epsilon > 0$ に対しても $c > d^{1+\epsilon}$ となるような $(a, b, c)$ の組はたかだか有限個しか存在しない，ということを主張しているわけです。

ABC予想の $\epsilon = 1$ の場合については，より強い以下の命題が真となることが予想されています。

上記の強いABC予想が正しいと仮定すると，フェルマーの最終定理の $n \geqq 6$ の場合を簡単に証明できます。 フェルマーの最終定理については，こちらの記事もご覧ください。→フェルマーの最終定理

冒頭で説明した望月教授の論文は，宇宙際タイヒミュラー理論(IUT理論)と呼ばれる全く新しい理論を考案し，それを用いて証明を行っているそうです。しかしながら，論文が査読された今でもなお，一部の数学者は否定的な見解を示しているようです。