高校数学　東大2003前期第六問

3.05<πを示せ。

について。今日連分数展開というものを知ったので試運転してみたのですが

sin18°＝(√5−1)/4を既知のものとする。

今、半径1の円の四分円を考える。

その四分円の中に中心角18°の三角形は5つ作れるので(すいません、説明拙いです)

その一つの三角形の面積をSとすると、

5S<π/4....①である。

ここでS＝(1/2)×1×1×sin18°なので、①は

(5/2)(√5−1)<π...②である。

ここで、√5−1を正則連分数展開する。 √5−1

＝1＋(√5−2)

＝1＋1/(1/√5−2)

＝1＋1/(√5＋2)

＝1＋1/{4＋(√5−2)}

となり、(√5−2)＝1/{4＋(√5−2)}であることがわかるので、これを繰り返し用いると、

√5−1は[1;4,4,4,4,4,...]とわかる。

√5−1を下から抑えたいので、4が6回出たところで打ち切る。(4が奇数回出た時に打ち切ると√5−1より大きく、偶数回なら小さくなり、下から抑えられる。4が4回だと緩くなりそうなので念のため6回にしました)つまり

1＋1/(4＋(1/(4＋(1/(4＋(1/(4＋(1/(4＋(1/4))))))))))<√5−1

左辺を頑張って計算すると、6409/5185

(小数第六位まで√5−1に一致してました。)

これと②より

(5/2)(6409/5185)<πとなる。

左辺は3.0901...となるので

3.05<πである。■

ここで質問が2つあります。

[1]この解答で丸を貰えるでしょうか。

[2]途中の√5−1の正則連分数展開にて、4が1回以上出るところで打ち切ると、(一番最初の整数部分の1は含めないで)(約分せず)分母、分子共に

(自然数の二乗) +(自然数の二乗)

で表されるっぽい？のですが、どうでしょうか。正しいでしょうか(今、自然数は0を含む)

例えば4がn回出た時の打ち切りを考えると、

n＝1 (1/4)＝(1^2＋0^2)/(2^2＋0^2)

n＝2 (4/17)＝(2^2＋0^2)/(4^2＋1^2)

n＝3 (17/68)＝(4^2＋1^2)/(8^2＋2^2)

n＝4 (68/289)＝(8^2＋2^2)/(15^2＋8^2)

n＝5 (289/1224)＝(15^2＋8^2)/(30^2＋18^2)

n＝6 (1224/5185)＝(30^2＋18^2)/(71^2＋12^2)

となっていっくっぽいのですが、こじつけでしょうか。一意的かは分かりません。

長くなってしまいましたが回答お願いします