【解答・解説】東大理系数学2025

座標平面上の点 $\mathrm{A} (0,0)$，$\mathrm{B} (0,1)$，$\mathrm{C} (1,1)$，$\mathrm{D} (1,0)$ を考える。実数 $0 < t < 1$ に対して，線分 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$ を $t : (1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$，$\mathrm{R}_t$ とし，線分 $\mathrm{P}_t \mathrm{Q}_t$，$\mathrm{Q}_t \mathrm{R}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\mathrm{S}_t$，$\mathrm{T}_t$ とする。さらに線分 $\mathrm{S}_t \mathrm{T}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点を $\mathrm{U}_t$ とする。

1. 点 $\mathrm{U}_t$ の座標を求めよ。
2. $t$ が $0 \leqq t\leqq 1$ の範囲を動くときに点 $\mathrm{U}_t$ が描く曲線と，線分 $\mathrm{AD}$ で囲まれた部分の面積を求めよ。
3. $a$ を $0 < a < 1$ を満たす実数とする。$t$ が $0 \leqq t \leqq a$ の範囲を動くときに点 $\mathrm{U}_t$ が描く曲線の長さを，$a$ の多項式の形で求めよ。

1. $ⅹ>0$ のとき，不等式 $\log x \leqq x - 1$ を示せ。

2. 次の極限を求めよ。 $$\lim_{n \to \infty} n \int_1^2 \log \left( \dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2} \right) dx$$

平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ において，$\angle \mathrm{ABC} = \dfrac{\pi}{6}$，$\mathrm{AB} = a$，$\mathrm{BC} = b$，$a \leqq b$ とする。次の条件を満たす長方形 $\mathrm{EFGH}$ を考え，その面積を $S$ とする。

条件：点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ はそれぞれ辺 $\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$，$\mathrm{GH}$，$\mathrm{HE}$ 上にある。

ただし，辺はその両端の点も含むものとする。

1. $\angle \mathrm{BCG} = \theta$ とするとき，$S$ を $a,b, \theta$ を用いて表せ。
2. $S$ のとりうる値の最大値を $a,b$ を用いて表せ。

この問いでは，$0$ 以上の整数の2乗になる数を平方数と呼ぶ。$a$ を正の整数とし，$f_a (x) = x^2+x-a$ とおく。

1. $n$ を正の整数とする。$f_a (n)$ が平方数ならば，$n \leqq a$ であることを示せ。
2. $f_a (n)$ が平方数となる正の整数 $n$ の個数を $N_a$ とおく。次の条件 (i)，(ii) が同値であることを示せ。
   
   • (i) $N_a = 1$ である。
   • (ii) $4a+1$ は素数である。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$1$ から $n$ までの数字が書かれた札が各1枚ずつ合計 $n$ 枚あり，横一列におかれている。$1$ 以上 $(n-1)$ 以下の整数 $i$ に対して，次の操作 $(\mathrm{T}_i)$ を考える。

$(\mathrm{T}_i)$：左から $i$ 番目の札の数字が，左から $(i+1)$ 番目の札の数字よりも大きければ，これら2枚の札の位置を入れかえる。そうでなければ，札の位置をかえない。

最初の状態において札の数字は左から $A_1, A_2, \cdots , A_n$ であったとする。この状態から $(n-1)$ 回の操作 $(\mathrm{T}_1), (\mathrm{T}_2) , \cdots , (\mathrm{T}_{n-1})$ を順に行った後，続けて $(n-1)$ 回の操作 $(\mathrm{T}_{n-1}), \cdots ,(\mathrm{T}_2) , (\mathrm{T}_{1})$ を順に行ったところ，札の数字は左から $1,2, \cdots , n$ と小さい順に並んだ。以下の問いに答えよ。

1. $A_1$ と $A_2$ のうち少なくとも一方は $2$ 以下であることを示せ。
2. 最初の状態としてありうる札の数字の並び方 $A_1,A_2, \cdots , A_n$ の総数を $c_n$ とする。$n$ が $4$ 以上の整数であるとき，$c_n$ を $c_{n-1}$ と $c_{n-2}$ を用いて表せ。

複素数平面上の点 $\dfrac{1}{2}$ を中心とする半径 $\dfrac{1}{2}$ の円の周から原点を除いた曲線を $C$ とする。

1. 曲線 $C$ 上の複素数 $z$ に対し，$\dfrac{1}{z}$ の実部は $1$ であることを示せ。

2. $\alpha,\beta$ を曲線 $C$ 上の相異なる複素数とするとき，$\dfrac{1}{\alpha^2} + \dfrac{1}{\beta^2}$ とりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

3. $\gamma$ を (2) で求めた範囲に属さない複素数とするとき，$\dfrac{1}{\gamma}$ の実部がとりうる値の最大値と最小値を求め よ。