【解答・解説】東大理系数学2025 第2問

$f(x) = \log x- x+1$ とおく。

$f'(x) = \dfrac{1}{x} - 1$ であるため，増減表は次のようになる。

$$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & \cdots & 1 & \cdots\\ \hline f'& & + & 0 & - \\ f & & \nearrow & & \searrow \end{array}$$ よって，$f(x) \leqq f(1) = \log 1 -1+1 = 0$ である。

移項して $\log x \leqq x-1$ を得る。

上からの評価

(1) より $$\log \left( \dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2} \right) \leqq \dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2} - 1 = \dfrac{x^{\frac{1}{n}}-1}{2}$$ であるため，辺々を積分することで $$\lim_{n \to \infty}n \int_1^2 \log \left( \dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2} \right) dx \leqq \lim_{n \to \infty}n \int_1^2 \dfrac{x^{\frac{1}{n}}-1}{2} dx$$ を得る。右辺を計算する。

$$\begin{aligned} \int_1^2 \dfrac{x^{\frac{1}{n}}-1}{2} dx &= \dfrac{1}{2} \Big[ \dfrac{n}{n+1} x^{\frac{1}{n}+1} -x \Big]_1^2\\ &= \dfrac{1}{2} \dfrac{n}{n+1} (2 \cdot 2^{\frac{1}{n}} - 1) - \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{n}{n+1} \left( 2^{\frac{1}{n}} -1 - \dfrac{1}{2n} \right) \end{aligned}$$

よって， $$\begin{aligned} n \int_1^2 \dfrac{x^{\frac{1}{n}}-1}{2} dx &= \dfrac{n}{n+1} \left\{ n (2^{\frac{1}{n}} -1) - \dfrac{1}{2} \right\} \end{aligned}$$ である。 $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{n+1} = 1$$ また， $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} n (2^{\frac{1}{n}}-1) &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{2^{\frac{1}{n}}-2^0}{\frac{1}{n} - 0}\\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{2^x-1}{x} \\ &= \log 2 \end{aligned}$$

よって $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty}n \int_1^2 \dfrac{x^{\frac{1}{n}}-1}{2} dx &= \log 2 - \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$

下からの評価

相加相乗平均の大小より $$\log \left( \dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2} \right) \geqq \log \left( \dfrac{2\sqrt{x^{\frac{1}{n}}}}{2} \right) = \dfrac{1}{2n} \log x$$ であるため，辺々を積分することで $$\lim_{n \to \infty}n \int_1^2 \log \left( \dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2} \right) dx \geqq \lim_{n \to \infty}n \int_1^2 \dfrac{1}{2n} \log x dx$$ を得る。右辺を計算する。

$$\begin{aligned} &n \int_1^2 \dfrac{1}{2n} \log x dx \\ &= \dfrac{1}{2} \Big[ x\log x - x \Big]_1^2\\ &= \log 2 - \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$ より $$\lim_{n \to \infty}n \int_1^2 \dfrac{1}{2n} \log x dx = \log 2 - \dfrac{1}{2}$$ である。

こうしてはさみうちの原理から $$\lim_{n \to \infty} n \int_1^2 \log \left( \dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2} \right) dx = \log 2 - \dfrac{1}{2}$$ が従う。

部分積分により $$\begin{aligned} &\int_1^2 \log \left( \dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2} \right) dx \\ &= \left[ x \log \left( \dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2} \right) \right]_1^2 - \int_1^2 x \cdot \dfrac{2}{1+x^{\frac{1}{n}}} \cdot \dfrac{1}{2n} x^{\frac{1}{n}-1} dx\\ &= 2 \log \dfrac{1+2^{\frac{1}{n}}}{2} -\dfrac{1}{n} \int_1^2 \dfrac{x^{\frac{1}{n}}}{1+x^{\frac{1}{n}}} dx \end{aligned}$$ となる。

1項目について計算する。 $$\begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} 2n\log \dfrac{1+2^{\frac{1}{n}}}{2} \\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{\frac{1}{n}-0} \left\{ \log \dfrac{1+2^{\frac{1}{n}}}{2} - \log \dfrac{1+2^0}{2} \right\}\\ &=\lim_{x \to 0} 2 \cdot \left( \dfrac{1+2^x}{2} \right)'\\ &= \lim_{x \to 0} 2 \cdot \dfrac{2^x \log 2}{2}\\ &= \log 2 \end{aligned}$$

次に2項目について計算する。 $$\dfrac{x^{\frac{1}{n}}}{1+x^{\frac{1}{n}}} = 1 - \dfrac{1}{1+x^{\frac{1}{n}}}$$ で，$1 \leqq x \leqq 2$ において $\dfrac{1}{1+x^{\frac{1}{n}}}$ は単調減少であるため， $$\dfrac{1}{1+2^{\frac{1}{n}}} \leqq \dfrac{1}{1+x^{\frac{1}{n}}} \leqq \dfrac{1}{2}$$ を得る。辺々を積分することで $$\dfrac{1}{1+2^{\frac{1}{n}}} \leqq \int_1^2 \dfrac{1}{1+x^{\frac{1}{n}}} \leqq \dfrac{1}{2}$$ をなる。つまり $$\dfrac{1}{2} \leqq n \cdot \dfrac{1}{n} \int_1^2 \dfrac{x^{\frac{1}{n}}}{1+x^{\frac{1}{n}}} dx \leqq 1-\dfrac{1}{1+2^{\frac{1}{n}}}$$ である。右辺は $n \to \infty$ で $\dfrac{1}{2}$ に収束するため，はさみうちの原理から $$\lim_{n \to \infty} n \cdot \dfrac{1}{n} \int_1^2 \dfrac{x^{\frac{1}{n}}}{1+x^{\frac{1}{n}}} = \dfrac{1}{2}$$ である。

以上をまとめて $$\lim_{n \to \infty} n \int_1^2 \log \left( \dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2} \right) dx = \log 2 - \dfrac{1}{2}$$ となる。