【解答・解説】東大理系数学2025 第1問～ベジェ曲線

更新 2025/02/26

東京大学理系数学2025年第1問

座標平面上の点 $\mathrm{A} (0,0)$ ， $\mathrm{B} (0,1)$ ， $\mathrm{C} (1,1)$ ， $\mathrm{D} (1,0)$ を考える。実数 $0 < t < 1$ に対して，線分 $\mathrm{AB}$ ， $\mathrm{BC}$ ， $\mathrm{CD}$ を $t : (1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\mathrm{P}_t$ ， $\mathrm{Q}_t$ ， $\mathrm{R}_t$ とし，線分 $\mathrm{P}_t \mathrm{Q}_t$ ， $\mathrm{Q}_t \mathrm{R}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\mathrm{S}_t$ ， $\mathrm{T}_t$ とする。さらに線分 $\mathrm{S}_t \mathrm{T}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点を $\mathrm{U}_t$ とする。

点 $\mathrm{U}_t$ の座標を求めよ。
$t$ が $0 \leqq t\leqq 1$ の範囲を動くときに点 $\mathrm{U}_t$ が描く曲線と，線分 $\mathrm{AD}$ で囲まれた部分の面積を求めよ。
$a$ を $0 < a < 1$ を満たす実数とする。 $t$ が $0 \leqq t \leqq a$ の範囲を動くときに点 $\mathrm{U}_t$ が描く曲線の長さを， $a$ の多項式の形で求めよ。

この記事では東京大学理系数学2025第1問を解説します。

解答

(1)

$\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{OU}_t} &= (1-t)\overrightarrow{\mathrm{OS}_t} + t \overrightarrow{\mathrm{OT}_t}\\ &= (1-t) \{ (1-t)\overrightarrow{\mathrm{OP}_t} + t \overrightarrow{\mathrm{OQ}_t}\}\\ &\quad + t \{ (1-t)\overrightarrow{\mathrm{OQ}_t} + t \overrightarrow{\mathrm{OR}_t}\}\\ &= (1-t)^2 \overrightarrow{\mathrm{OP}_t} +2t(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OQ}_t} + t^2 \overrightarrow{\mathrm{OR}_t}\\ &= (1-t)^2 \{ (1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}} + t \overrightarrow{\mathrm{OB}} \}\\ &\quad + t(1-t) \{ (1-t) \overrightarrow{\mathrm{OB}} + t \overrightarrow{\mathrm{OC}} \}\\ &\quad +t^2 \{ (1-t) \overrightarrow{\mathrm{OC}} + t \overrightarrow{\mathrm{OD}} \}\\ &= (1-t)^2 \overrightarrow{\mathrm{OA}} + 3t (1-t)^2 \overrightarrow{\mathrm{OB}} \\ &\quad + 3t^2 (1-t) \overrightarrow{\mathrm{OC}} + (1-t)^3\overrightarrow{\mathrm{OD}} \end{aligned}$ より $\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{OU}_t} &= \begin{pmatrix} 0\\ 3t(1-t)^2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3t^2(1-t)\\3t^2(1-t) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t^3\\0 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 3t^2-2t^3\\3t-3t^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$ つまり $\mathrm{U}_t (3t^2-2t^3,3t-3t^2)$ である。

二項係数が綺麗に出てきて気持ちがいいですね。

(2)

機械的に計算をしましょう。

(2)

面積を $S$ とする。 $\begin{aligned} S &= \int_0^1 y \ dx\\ &= \int_0^1 (3t-3t^2) (6t-6t^2) dt\\ &= 18 \int_0^1 t^2 (1-t)^2 dt\\ &= 18 \cdot \dfrac{2! \cdot 2!}{5!}\\ &= \dfrac{3}{5} \end{aligned}$

※ 最後はベータ関数の積分公式を用いています。実際の入試の答案を書く際は，展開などで計算したほうが採点官の心象は良いかもしれません。

(3)

最後もシンプルな計算問題です。

(3)

曲線の長さを $l$ とおく。 $\begin{aligned} l &= \int_0^a \sqrt{\left( \dfrac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \dfrac{dy}{dt} \right)^2} dt \\ &= \int_0^a \sqrt{(6t-6t^2)^2+ (3-6t)^2} dt\\ &= 3\int_0^a \sqrt{(2t-2t^2)^2+ (1-2t)^2} dt \end{aligned}$ である。

$\begin{aligned} &(2t-2t^2)^2+ (1-2t)^2 \\ &= 4t^4 - 8t^3 + 4t^2 + 4t^2 - 4t+1\\ &= 4t^4 - 8t^3 + 8t^2 - 4t+1\\ &= (2t^2-2t+1)^2 \end{aligned}$ である。

$2t^2-2t+1 = 2\left( t-\dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{1}{2}$ より常に非負であるため， $\begin{aligned} l &= 3\int_0^a |2t^2-2t+1| dt\\ &= 3\int_0^a (2t^2-2t+1) dt \end{aligned}$ である。

こうして $\begin{aligned} l &= 3 \left[ \dfrac{2}{3} t^3 - t^2 + t \right]_0^a\\ &= 2a^3-3a^2+3a \end{aligned}$ である。

背景

平面上における (N+1)(N+1)(N+1) 個の点 P0,P1,…,PN\mathrm{P}_0,\mathrm{P}_1,\dots,\mathrm{P}_{N}P0​,P1​,…,PN​ から以下の式で定まる曲線をベジェ曲線と呼びます。
pundefined(t)=∑k=0NNCktk(1−t)N−kOPkundefined
\overrightarrow{p} (t)=\displaystyle\sum_{k=0}^{N}{}_N\mathrm{C}_kt^k(1-t)^{N-k}\overrightarrow{\mathrm{OP}_k}
p​(t)=k=0∑N​N​Ck​tk(1−t)N−kOPk​​
（ただし 0≦t≦10 \leqq t \leqq 10≦t≦1）
これは P0\mathrm{P}_0P0​ と PN\mathrm{P}_NPN​ を滑らかに結ぶ曲線を出力します。
本問は (0,0),(0,1),(1,1),(1,0)(0,0),(0,1),(1,1),(1,0)(0,0),(0,1),(1,1),(1,0) から定まるベジェ曲線を計算させる問題でした。
今回の曲線を実際に描くと次のようになります。
実はこのブログでも線分の長さを表す曲線を描くときにベジェ曲線を用いています。下図は実際に 半角の公式 に登場した図です。111 と cos⁡θ\cos \thetacosθ を囲う曲線はベジェ曲線になっています。
TeXを用いた図版作成システムTikZでは簡単にベジェ曲線を描くコマンドがあるので，興味がある人は調べてみてください。
参考：ベジェ曲線の定義と4つの性質
シンプルな問題でしたね。完答を目指したいです。