不等式

不等式では，方程式と同じく両辺に同じ数を足したり引いたりできる。つまり移項できる。

次の不等式を解け。

(1) $\log_2 (x+3) < 2 \log_2 (x+1)$

(2) $\log_{0.5} x + 1 \geqq \log_2 (x+1)$

(3) $(\log_2 x)^2 \leqq \log_2 x + 2$

$0\leq x\leq \dfrac{\pi}{2}$ において，

$\dfrac{2}{\pi}x\leq \sin x\leq x$

$x$ の「大きさ」を $\|x\|$ と書くとき，いろいろな「大きさ」に対して以下の不等式が成立する。 $$\|x+y\|\leqq\|x\|+\|y\|$$

$e^{\pi} > \pi^e$ を証明せよ。

相加平均$\geqq$相乗平均
つまり，すべての $a,b>0$ に対して $\dfrac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}$

任意の実数 $a_i , b_i$ に対して， $$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2) \geqq (a_1b_1+a_2b_2)^2\\ (a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2) \geqq (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$$ という不等式が成立する。 より一般に，任意の正の整数 $n$ に対して， $$\left( \sum_{i=1}^n a_{i}^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_{i}^2 \right) \geqq \left(\sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2$$ という不等式が成立する。

任意の実数 $a, b, c$ に対して， $$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$$ 等号成立条件は，$a=b=c$ である。

$a, b > 0,\:\:p,q > 1,\:\:\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$ のとき， $$\dfrac{a^p}{p}+\dfrac{b^q}{q}\geq ab$$ 等号成立条件は $a^p=b^q$

$$a\sqrt{x}+b\sqrt{y}\leqq\sqrt{(a^2+b^2)(x+y)}$$

対数関数と1次関数の積なので，2階微分は扱いやすい式（有理式）になることが分かります。多少計算は大変ですが，見通しが立っているので安心して計算できます。

任意の正の実数 $x$ に対して

$\log x\leqq x-1$

• $\left(\dfrac{n}{k}\right)^k\leqq {}_n\mathrm{C}_k\leqq\left( \dfrac{n}{k}e\right)^k$

• $\dfrac{1}{n+1}2^{nH(\frac{k}{n})}\leqq{}_n\mathrm{C}_k\leqq2^{nH(\frac{k}{n})}$

$$\gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} - \log n \right)$$ をオイラーの定数（オイラー・マスケローニ定数）といいます。

$2$ 以上の自然数 $n$ に対して，$n$ を割り切る素数の個数を $f(n)$ とする。例えば $n=120$ のとき，$120$ を割り切る素数は $2$ と $3$ と $5$ なので，$f(120) = 3$ である。不等式 $f(n) \geqq \dfrac{\sqrt{n}}{2}$ を満たす $2$ 以上の自然数 $n$ をすべて求めよ。

$n$ を3以上の整数とする。正 $n$ 角形 $A$ の周の長さと円 $C$ の周の長さが等しいとき，$A$ の面積 $S$ と $C$ の面積 $T$ の大小を比べよ。

$\pi$ を円周率とする。正の整数 $n$ に対し $$\begin{aligned} a_n &= \int_0^{2-\sqrt{3}} \dfrac{1-x^{4n}}{1+x^2} dx \\ b_n &= \int_0^{2-\sqrt{3}} \dfrac{1+x^{4n+2}}{1+x^2} dx \end{aligned}$$ とおく。

1. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = \dfrac{\pi}{12}$ を示せ。
2. $3.141 < \pi < 3.142$を証明せよ。ただし $$1.7320508 < \sqrt{3} < 1.7320509$$ である。

整数 $k,n$ は $0 \leqq k < n$ を満たすとする。以下の設問に答えよ。

1. $f(x)=x^n$，$g(x)=x^k$ とする。$1 \leqq x < y$ に対して，次の不等式がなりたつことを示せ。 $$\left| \dfrac{g(x)-g(y)}{f(x)-f(y)} \right| < \dfrac{1}{x}$$

2. $f(x)$，$g(x)$ を実数係数の整式で，$f(x)$ の次数を $n$ とし，$g(x)$ の次数を $k$ 以下とする。$f(x_0)$ が整数となるすべての実数 $x_0$ に対して $g(x_0)$ も整数となるとき，$g(x)$ は $x$ によらず一定の整数値をとることを示せ。

座標平面における領域 $$A= \{ (x,y) \mid y \geqq e^x \}$$ で定まる図形 $A$ を考える。$A$ に対して，原点を中心とする回転や平行移動を，何回か行って得られる図形を $n$ 個用意し，それぞれ $A_1, A_2, \cdots , A_n$ とする。

このとき，$A_1 , A_2 , \cdots , A_n$ により座標平面を覆うことのできる $n$ の最小値を求めよ。

自然数 $n$ に対して，関数 $f_n (x)$ を次で帰納的に定める。

$$\begin{aligned} f_1 (x) &= \sin x\\ f_n (x) &= \sin (f_{n-1} (x)) & (n = 2,3,4,\cdots) \end{aligned}$$

また，$L$ を正の実数とし， $$f_n (a) - \dfrac{a}{L} = 0$$ を満たす実数の個数を $A_{L,n}$ とする。このとき，以下の設問に答えよ。

1. $L \leqq 1$ のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_{L,n}$ の値を求めよ。
2. $L > 1$ のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_{L,n}$ の値を求めよ。

ただし，$0$ 以上の実数からなる数列 $\{ a_n \}$ が，任意の $n$ に対して $a_{n+1} \leqq a_n$ を満たすとき，数列 $\{ a_n \}$ が収束することを用いてもよい。

$n$ を自然数とする。実数 $x$ に対し，$x$ を超えない最大の整数を $[x]$ とし，$f(x) = x - [x]$ と定める。このとき，$1$ よりも大きく，かつ整数でないような実数 $x$ のうちで， $$\lim_{n \to \infty} f \left( \dfrac{1}{nf(\sqrt[n]{x})} \right) = \dfrac{1}{2}$$ を満たすものをすべて求めよ。

条件付きの対称な不等式の証明問題は，全ての項の次数を一致させる（斉次式にする）と見通しがよくなることが多い。

$x, y, z\geq0$ に対して，

$x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-z)(y-x)+z^r(z-x)(z-y)\geq 0$

等号成立条件は，

• $r>0$ のときは，$x=y=z$ or $x, y, z$ のうち1つが0で残りの2つが等しい場合。
• $r\leq 0$ のときは，$x=y=z$

$f(x)$ が凸関数のとき，

• 任意の $x_1,\dots,x_n$ と
• $\lambda_i\geqq 0,\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$ を満たす任意の $\lambda_1,\dots,\lambda_n$

に対して， $$\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} f(x_{i}) \geqq f \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i \right)$$ が成立する。

三角形の各辺の長さが変数の不等式証明問題は，Ravi変換と呼ばれる以下の置き換えを用いるとほとんどの場合でうまくいく。

Ravi変換：$a=x+y,\:b=y+z,\:c=z+x$

非負実数 $a_1, a_2,\cdots, a_n$ と重み $w_1, w_2, \cdots, w_n$ に対して以下の不等式が成立する。 $$\sum_{i=1}^nw_ia_i\geq \displaystyle\prod_{i=1}^na_i^{w_i}$$ 等号成立条件は $a_1=a_2=\cdots =a_n$

$b_i>0\:(i=1\cdots n)$ のとき，以下の不等式が成立する。 $$\sum\dfrac{a_i^2}{b_i}\geq \dfrac{(\sum a_i)^2}{\sum b_i}$$ 等号成立条件は $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ が平行であること。

シグマの和は $1$ から $n$ まで取る。

各成分が非負で非増加な数列 $a=(a_1, a_2,\cdots , a_n), b=(b_1, b_2,\cdots, b_n)$ と，任意の非負実数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ に対して，$[a]\succeq [b]$ ならば $$\sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{a_i} \geq \sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{b_i}$$ が成立する。等号成立条件は，$a=b$ または， $x_1=x_2=\cdots=x_n$ である。

$a, b, c>0$ のとき以下の不等式が成立する。 $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{3}{2}$$

任意の三角形 $ABC$ において，その内部の任意の点 $O$ から各辺に下ろした垂線の足を $P, Q, R$ とおくとき，以下の不等式が成立する。 $$OA+OB+OC\geq 2(OP+OQ+OR)$$

• $x_1\geqq x_2\geqq\cdots\geqq x_n$
• $y_1\geqq y_2\geqq\cdots \geqq y_n$
• $\{1, 2, \cdots, n\}$ の並べ替え $\{\sigma(1), \sigma(2), \cdots, \sigma(n)\}$ に対して， $$\sum_{i=1}^nx_iy_i\geqq\sum_{i=1}^nx_iy_{\sigma(i)}\geqq\sum_{i=1}^nx_iy_{n-i+1}$$

$2n$ 個の実数 $x_1,x_2,\dots,x_n,y_1,y_2,\dots,y_n$ が

• $x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n$
• $y_1\geq y_2\geq\cdots \geq y_n$

を満たすとき， $$\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i y_i \geq \left( \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i \right) \left( \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i \right) \geq \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iy_{n+1-i}$$ が成立する。

$a_{ij}\geq 0,w_i > 0, \displaystyle\sum_{i=1}^mw_i=1$ のとき， $$\displaystyle\prod_{i=1}^m(\sum_{j=1}^na_{ij})^{w_i}\geq \sum_{j=1}^n(\prod_{i=1}^ma_{ij}^{w_i})$$ である。等号成立条件は $m$ 本のベクトル $(a_{1j},a_{2j},\dots,a_{nj})\:(j=1,2,\dots ,m)$ たちが全て平行のとき。

三角形 $ABC$ の三辺の長さを $a, b, c$，面積を $S$ とおくと以下の不等式が成立する。 $$a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S$$

任意の四角形 $ABCD$ において， $$AB\times CD+AD\times BC\geqq AC\times BD$$ が成立する。等号成立条件は，四角形 $ABCD$ が円に内接する四角形であること。

割り算の逆の操作を行って強引に符号を反転させた上でCRTを用います。その後不等式を整理して不等式証明のコツ2：斉次式化を用います。

三角形 $ABC$ の三辺の長さを $a,b,c$，外接円の半径を $R$ とおくと， $$a^2+b^2+c^2\leq 9R^2$$ が成立する。

とりあえず展開してみると「数列の積の和」が出現します。並べ替え不等式で一発です。

$$f(a, b, c)+f(b, c, a)+f(c, a, b)\geqq k$$ を証明する代わりに $$f(a, b, c)\geqq \dfrac{ka^r}{a^r+b^r+c^r}$$ を証明する手法。

• $[a]\succeq [b]$ を満たす実数の列 $a=(a_1, a_2,\cdots , a_n), b=(b_1, b_2,\cdots, b_n)$
• $f(x)$ は微分可能で凸

このとき， $$f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_n)\geq f(b_1)+f(b_2)+\cdots +f(b_n)$$ である。

$n$ 変数の $k$ 次の基本対称式を $S(n,k)$ とおき，$d(n,k)=\dfrac{S(n,k)}{{}_n\mathrm{C}_{k}}$ とおく。

このとき，$d(n,k)^2\geq d(n,k-1)\; d(n,k+1)$ である。

非負実数 $a,b,c$ に対して

$$\sqrt[3]{\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\left(\dfrac{b+c}{2}\right)\left(\dfrac{c+a}{2}\right)}\geq\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{3}$$

を証明せよ。

任意の非負の実数 $x_k$ たちと正の実数 $p$ に対して

$$f(p)=\left(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k^p\right)^{\frac{1}{p}}$$

とおくと $f(p)$ は単調増加である。

任意の正の整数 $n$ と $-1$ より大きい実数 $x$ に対して， $$(1+x)^n\geq 1+nx$$ が成立する。

$x,\:y,\:z$ と非負整数 $n$ ，三角形の内角 $A,\:B,\:C$ に対して以下の不等式が成立する。 $$x^2+y^2+z^2\geq 2(-1)^{n+1} (yz\cos nA+zx\cos nB+xy\cos nC)$$ 等号成立条件は，$\sin nA,\:\sin nB,\:\sin nC$ がいずれも $0$ でないもとで， $$\dfrac{x}{\sin nA}=\dfrac{y}{\sin nB}=\dfrac{z}{\sin nC}$$ である。

$n$ 変数 $k$ 次の基本対称式を ${}_n\mathrm{C}_k$ で割ったものを $d_k$ とする。このとき，

$$d_1\geq d_2^{\frac{1}{2}}\geq d_3^{\frac{1}{3}}\geq\cdots\geq d_n^{\frac{1}{n}}$$

任意の三角形 $ABC$ について，

$$\sin A\sin B\sin C\leq\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2\pi}\right)^3ABC$$

$$2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2\geq 4\sqrt{3}S$$

等号成立条件は三角形 $ABC$ が正三角形であること。

$1\leq p\leq\infty$ のとき， $$\|x+y\|_p\leq\|x\|_p+\|y\|_p$$ となる。

$f(x)$ が下に凸な関数のとき，任意の $x,y,z$ に対して(※)，

$$\begin{aligned} &f(x)+f(y)+f(z)+3f\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)\\ &\quad\quad\geq 2\left\{f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)+f\left(\dfrac{y+z}{2}\right)+f\left(\dfrac{z+x}{2}\right)\right\} \end{aligned}$$

任意の複素数 $x,\:y,\:z$ に対して， $$|x|+|y|+|z|+|x+y+z| \geq |x+y|+|y+z|+|z+x|$$ が成立する。

$0$ 以上 $\dfrac{1}{2}$ 以下である $n$ 個の実数 $x_1,x_2,\dots,x_n$ に対して，$\dfrac{G}{G'}\leq\dfrac{A}{A'}$

ただし，$A$ と $G$ は $x_i$ たちの相加平均と相乗平均：

• $A=\dfrac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}$
• $G=\sqrt[n]{x_1x_2\dots x_n}$

$A'$ と $G'$ は $(1-x_i)$ たちの相加平均と相乗平均：

• $A'=\dfrac{(1-x_1)+(1-x_2)+\dots +(1-x_n)}{n}$
• $G'=\sqrt[n]{(1-x_1)(1-x_2)\dots (1-x_n)}$

非負の数 $a_1,a_2,...$ について， $$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\cdots a_n)^{\frac{1}{n}}\leq e\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$

$n\times n$ の複素行列 $A$ に対して，

$|\det A|\leq c_1c_2\cdots c_n$

ただし，$c_i$ は $i$ 列目の長さ：$c_i=\sqrt{|a_{1i}|^2+|a_{2i}|^2+\cdots +|a_{ni}|^2}$