三次不等式の解き方・例題3問

左辺を因数分解する。方程式の有理数解についての定理を知っていると因数分解しやすい。

• $f(x)=x^3-7x+6$ として，$f(x)=0$ を満たす整数 $x$ は $6$ の約数である。例えば $x=1$ とすると，$f(1)=1-7+6=0$ なので，因数定理より $f(x)$ は $(x-1)$ を因数に持つ。
• $f(x)$ を $(x-1)$ で割ると，$f(x)=(x-1)(x^2+x-6)$
• 第二項はさらに因数分解できて，$f(x)=(x-1)(x-2)(x+3)$

よって，$x=-3,1,2$ で $f(x)$ の符号が変わる。$f(x)$ の符号は，

• $x<-3$ のとき マイナス×マイナス×マイナス＝マイナス
• $-3<x<1$ のとき プラス
• $1<x<2$ のとき マイナス
• $2<x$ のとき プラス

よって，$f(x)$ がプラスになるのは $-3<x<1,2<x$

例題1と同じく因数分解する。左辺に $x=1$ を代入すると $0$ になるので $(x-1)$ で割れる：

$x^3+x^2+x-3\\ =(x-1)(x^2+2x+3)$

ところが，第二項はこれ以上因数分解できない。平方完成すると，

$x^2+2x+3=(x+1)^2+2$ となり，常に正である。よって，三次不等式の左辺の符号は $(x-1)$ の符号と同じ。

よって，答えは $x-1\leq 0$ つまり，$x\leq 1$

$x=1$ を代入すると左辺は $0$ になるので，$(x-1)$ で割れる：

$x^4+x^3-x-1\\ =(x-1)(x^3+2x^2+2x+1)$

さらに $x=-1$ を代入すると左辺は $0$ になるので，$(x+1)$ で割れる：

$(x-1)(x^3+2x^2+2x+1)\\ =(x-1)(x+1)(x^2+x+1)$

3つめの因数を平方完成する：

$(x-1)(x+1)(x^2+x+1)\\ =(x-1)(x+1)\left\{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right\}$

よって，四次不等式の左辺は $(x-1)(x+1)$ の符号と同じ。不等式の解は，$x\leq -1,1\leq x$