ハーディの不等式・カールマンの不等式

まず，左辺を部分積分で変形していく：

$$\begin{aligned}&\displaystyle\int_0^{\infty}\left(\dfrac{1}{x}\int_0^xf(t)dt\right)^pdx\\ &=\displaystyle\int_0^{\infty}\left(\int_0^xf(t)dt\right)^px^{-p}dx\\ &=\left[\left(\int_0^xf(t)dt\right)^p\dfrac{x^{1-p}}{1-p}\right]_0^{\infty}\\ &\:\:\:\:-\int_0^{\infty}\dfrac{d}{dx}\left\{\left(\int_0^xf(t)dt\right)^p\right\}\dfrac{x^{1-p}}{1-p}dx\end{aligned}$$ この第一項は $x\to 0$ と $x\to\infty$ で $0$ になる（※）。

第二項の微分の部分は，$f(x)$ の原始関数の1つを $F(x)$ とおくと， $$p(F(x)-F(0))^{p-1}f(x)$$ となるので，第二項は以下のようになる：

$$\dfrac{p}{p-1}\displaystyle\int_0^{\infty}\left(\int_0^xf(t)dt\right)^{p-1}x^{1-p}f(x)dx\\ =\dfrac{p}{p-1}\displaystyle\int_0^{\infty}\left(\dfrac{1}{x}\int_0^xf(t)dt\right)^{p-1}f(x)dx$$

ここで，ヘルダーの不等式：

$$\int f(x) g(x) dx \leq \left(\int f(x)^pdx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int g(x)^{\frac{p}{p-1}}dx\right)^{1-\frac{1}{p}}$$ において $g(x)=\left(\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_0^xf(t)dt\right)^{p-1}$ とおくと，上記第二項 $L$ は以下のようにおさえられる：

$$L\leq\dfrac{p}{p-1}\left(\int_0^{\infty} f(x)^pdx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_0^{\infty} \left(\dfrac{1}{x}\int_0^xf(t)dt\right)^pdx\right)^{1-\frac{1}{p}}$$ すると，右辺にも $L$ が出てきており，両辺を $p$ 乗すると， $$L^p\leq\left( \dfrac{p}{p-1}\right)^p\int_0^{\infty} f(x)^pdx \times L^{p-1}$$ 両辺を $L^{p-1}$ で割るとハーディの不等式を得る。

ハーディの不等式（連続バージョン）を使う。$f(x)$ として，「階段」の関数を考えると離散バージョンが出てきそう。つまり，$n-1\leq x<n$ で $f(x)=a_n$ となる $f(x)$ を取ると，連続バージョン： $$\displaystyle\int_0^{\infty}\left(\dfrac{1}{x}\int_0^xf(t)dt\right)^pdx\\\leq\left(\dfrac{p}{p-1}\right)^p\int_0^{\infty} f(x)^pdx$$ の右辺はまさに離散バージョンの右辺になる。あとは，左辺の被積分関数の $p$ 乗の中身について，$n-1\leq x<n$ の範囲で $$\dfrac{1}{x}\int_0^xf(t)dt\geq\dfrac{a_1+\dots +a_n}{n}\cdots(*)$$ が成立すれば離散バージョンが導かれる。そして，この式の左辺は， $$\dfrac{a_1+\dots +a_{n-1}+a_n(x-n+1)}{x}$$ となる。つまり，$(*)$ の左辺も右辺も $a_1,...,a_{n}$ までの（係数の和が1である）重み付き平均である。左辺の方が $a_n$ の重みが小さいので，もし $\{a_n\}$ が単調減少（非増加）なら目標の不等式が成立する。

もし単調減少でないなら，順番を並べ替えて大きいものを前に持ってくればよい（この操作でハーディの不等式の右辺は変わらず，左辺は大きくなる）。

ハーディの不等式（離散バージョン）で $a_i^p$ を $a_i$ で置き換えると，

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{a_1^{1/p}+\cdots+ a_n^{1/p}}{n}\right)^p\leq\left(\dfrac{p}{p-1}\right)^p\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$ となる。この式の左辺は，相加相乗平均の不等式より $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\cdots a_n)^{\frac{1}{n}}$ 以上である。あとは，$p\to\infty$ とすると， $$\left(\dfrac{p}{p-1}\right)^p=\left(1+\dfrac{1}{p-1}\right)^{p-1}\left(1+\dfrac{1}{p-1}\right)\to e$$ となる。