いろんな関数

関数 $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $a$，$y$ 軸方向に $b$ 平行移動したグラフを表す式は

$y-b=f(x-a)$

つまり，$x$ を $x-a$ に変えて，$y$ を $y-b$ に変えればよい。

$y=f(x)$ のグラフを，原点中心に $x$ 軸方向に $A$ 倍，$y$ 軸方向に $B$ 倍すると，$x$ を $\dfrac{x}{A}$ に変えて $y$ を $\dfrac{y}{B}$ に変えた以下の関数になる：

$\dfrac{y}{B}=f\left(\dfrac{x}{A}\right)$

• 二次関数のグラフは，$y$ 軸と平行な「とある直線」に関して対称になる。この「とある直線」のことを二次関数のグラフの軸と言う。

• また，二次関数のグラフと軸の交点のことを二次関数のグラフの頂点と言う。

二次関数 $y=ax^2+bx+c$ の最大値・最小値は，以下の2通りの方法で求めることができる：

• 平方完成→グラフを描く→最大値，最小値を求める
• 微分する→最大値，最小値を求める

2つの関数 $f(x),g(x)$ に対して，$f(g(x))$ のことを，$f(x)$ と $g(x)$ の合成関数と言い，$f\circ g$ または $(f\circ g)(x)$ と書く。

三次関数のグラフに関して以下の性質が成り立つ：

1. 変曲点に関して点対称である

2. 図において，$A,B,C,D,E$ は等間隔に並んでいる（4等分の法則）
   （$C$ は変曲点，$B,D$ は極大，極小点，$A,E$ は極大，極小点と同じ高さの点の $x$ 軸への射影）

このように，通る3点が与えられる二次関数の決定問題は，

二次関数を $y=ax^2+bx+c$ とおいて，$a,b,c$ を計算する

という方法で解けます。

• 放物線 $y=ax^2+bx+c$
• 放物線と $x=\alpha$ で接する接線
• $x=\beta$

という3つのグラフで囲まれた部分の面積は，

$\dfrac{|a|}{3}|\beta-\alpha|^3$

$x$ の値を決めたら $y$ の値が1つに決まるとき，$y$ は $x$ の関数であるという。その中でも，

• 陽関数とは，$y=f(x)$ という「いつもの形」で表された関数のこと。

• 陰関数とは，$F(x,y)=0$ という形で表された関数のこと。

変曲点には「グラフの曲がり方が変わる点」という意味がある。

関数 $y=f(x)$ と区間 $I$ について，

• 任意の $x_1,x_2\in I$ に対して，$x_1 < x_2$ ならば $f(x_1)\leq f(x_2)$ を満たすとき，$y=f(x)$ は区間 $I$ で広義単調増加という。

• 任意の $x_1,x_2\in I$ に対して，$x_1 < x_2$ ならば $f(x_1)< f(x_2)$ を満たすとき，$y=f(x)$ は区間 $I$ で狭義単調増加という。

絶対値を含む不等式で表された領域は，絶対値の中身の正負で場合分けすることで，確実に図示できます。

3次関数の極大値と極小値の差は $\dfrac{1}{6}$ 公式を使って高速に計算できる。

$f(x)$ が3次以下の関数のとき，

$\displaystyle\int_a^bf(x)dx\\=\dfrac{(b-a)}{6}\{f(a)+4f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)+f(b)\}$

シグモイド関数とは， $$f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-ax}}$$ という関数のこと。ただし，$a>0$ とする。

$a\leqq x\leqq b$ で連続な関数 $f(x)$ を考える。$f(a)$ と $f(b)$ の間にある任意の実数 $k$ に対して，$f(c)=k$ となる $c\:(a\leqq c\leqq b)$ が存在する。

$L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)$

とおくと，

$(\alpha,\beta)$ が極値を与えるならば，$(\alpha,\beta)$ は

• $\dfrac{\partial L}{\partial x}=\dfrac{\partial L}{\partial y}=\dfrac{\partial L}{\partial\lambda}=0$ の解。

または

• $\dfrac{\partial g}{\partial x}=\dfrac{\partial g}{\partial y}=0$ の解。

$f(x)$ が区間内で二階微分可能なとき，

• 下に凸 $\iff$ 二階微分 $f''(x)\geqq 0$
• 上に凸 $\iff$ 二階微分 $f''(x)\leqq 0$

合成積（畳み込み）は2つの関数から1つの関数を作る演算で，いろいろなところに登場する。

$a$ をパラメータとして，

$f(x)=a\:\mathrm{min}(x,1-x)$

と表される関数（写像）をテント写像と言う。

極方程式 $r=a(1+\cos\theta)$ で表される曲線をカージオイド曲線と言う。

曲線群 $f(x,y,t)=0$ の包絡線の方程式は $f(x,y,t)=0$ と $\dfrac{\partial}{\partial t}f(x,y,t)=0$ から $t$ を消去することで得られる。

「$x=k$ と固定して $y$ のとりうる値の範囲を求める」という操作を全ての $k$ について行うことで，領域を求めることができる。

$y=\sinh x$ の逆関数は，$y=\log(x+\sqrt{x^2+1})$

$y=\cosh x\:(x\geq 0)$ の逆関数は，$y=\log(x+\sqrt{x^2-1})$ $(1\leq x)$

$y=\tanh x$ の逆関数は，$y=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+x}{1-x}$ $(-1< x< 1)$

それぞれ $\mathrm{arsinh}$，$\mathrm{arcosh}$，$\mathrm{artanh}$ と表記することもあります。

$$x=(R-r)\cos\theta+r\cos(\theta-\frac{R}{r}\theta)$$ $$y=(R-r)\sin\theta+r\sin(\theta-\frac{R}{r}\theta)$$

平面上における $(N+1)$ 個の点 $P_0,P_1,\dots,P_{N}$ から以下の式で定まる曲線をベジェ曲線と呼ぶ。 $$\overrightarrow{p}(t)=\displaystyle\sum_{k=0}^{N}{}_N\mathrm{C}_kt^k(1-t)^{N-k}\overrightarrow{p_k}$$ ただし，$t$ は実数で $0\leqq t\leqq 1$ の範囲を動く。

• 順像法（順手流・順手法・自然流）
  変数を1つ固定し，他の変数に応じて図形がどのように動くか調べる。

• 逆像法（逆手流・逆手法）
  各点 $(x,y)$ に対して図形が通過するかどうか調べる。（存在条件を調べる）

極方程式 $r=a\theta$ で表される曲線をアルキメデスの螺旋と呼ぶ。

$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$

1. $\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$

2. $\sinh (x-y)=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y$

3. $\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$

4. $\cosh (x-y)=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y$

5. $\tanh (x+y)=\dfrac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}$

6. $\tanh (x-y)=\dfrac{\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}$

$$\begin{cases} x(\theta) = 3 \sin \theta\\ y(\theta) = 2 \sin \left(2\theta + \dfrac{\pi}{6}\right) \end{cases}$$ と表されるリサージュ曲線で囲まれた領域の面積を求めよ。

媒介変数 $t$ を用いて $x(t)=\displaystyle\int_0^{t}\cos\theta^2d\theta$，$y(t)=\displaystyle\int_0^t\sin \theta^2d\theta$ と表される曲線はクロソイド曲線と呼ばれる。

ニコメデスのコンコイドとは $$(x-b)^2 (x^2+y^2) = a^2 x^2$$ で表される曲線である。

パスカルの蝸牛形（蝸牛線・リマソン・limaçon of Pascal）とは $$(x^2 + y^2 - ax)^2 - b^2 (x^2 + y^2) = 0$$ と表される曲線である。

シッソイド（疾走線）とは $$x^3 + (x-a) y^2 = 0$$ で表される曲線である。

最高次の係数が $1$ である $n$ 次関数 $$P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$$

の中で，$x$ 軸に $[-1,1]$ で最も「近い」もの。つまり $$\displaystyle\max_{-1\leqq x\leqq 1}|P(x)|$$ を最小にするものはただ一つ存在し，それはチェビシェフ多項式 $T_n(x)$ の定数倍 $\dfrac{1}{2^{n-1}}T_n(x)$ である。

• $\max$ は最大値，$\mathop{\rm arg~max}$ は最大値を与える値の集合
• $\max$ は値，$\mathop{\rm arg~max}$ は集合

ソフトマックス関数とは $$y_i=\dfrac{e^{x_i}}{e^{x_1}+e^{x_2}+\cdots +e^{x_n}}\:(i=1,\dots,n)$$ という関数のこと。

各成分が正で，合計が $1$ になるように調整するという役割を持つ。

$f(x)=\begin{cases}x&x\geq 0\\0&x< 0\end{cases}$

で表される関数をランプ関数と言う。