順像法と逆像法（自然法と逆手法）

求める通過領域を $C$ とする。

$C$ を直線 $x=k$ での切り口の $y$ 座標の範囲を求める。

直線の式に $x=k$ を代入すると $$\begin{aligned} y &= 2tk - t^2\\ &= -(t-k)^2 + k^2 \end{aligned}$$ である。

$t$ は任意の実数値を取るので $y \leqq k^2$ である。

よって $C$ は $y \leqq x^2$ となる。

1の計算同様にすると $x = k$ において $$y = -(t-k)^2 + k^2$$ となる。

$f(t) = -(t-k)^2 + k^2$ とおく。 二次関数の軸は $t = k$ となる。

1. $k < 0$ のとき
   $t = 2$ のとき最小値 $4k-4$，$t = 0$ のとき最大値 $0$ を取る。

2. $0 \leqq k \leqq 1$ のとき
   $t = 2$ のとき最小値 $4k-4$，$t = k$ のとき最大値 $k^2$ を取る。

3. $1 < k \leqq 2$ のとき
   $t = 0$ のとき最小値 $0$，$t = k$ のとき最大値 $k^2$ を取る。

4. $2 < k$ のとき
   $t = 0$ のとき最小値 $0$，$t = 2$ のとき最大値 $4k-4$ を取る。

以上をまとめると $$\begin{cases} 4x-4 \leqq y \leqq 0 &(x < 0)\\ 4x-4 \leqq y \leqq x^2 &(0 \leqq x \leqq 1)\\ 0 \leqq y \leqq x^2 &(1 < x \leqq 2)\\ 0 \leqq y \leqq 4x-4 &(2 < x) \end{cases}$$ となる。

通過領域を $C$ とする。

$(X,Y) \in C$ とする。このとき，ある $t$ があって，直線 $y = 2tx - t^2$ 上に $(X,Y)$ がある。

ゆえに

• $(X,Y) \in C$ $\iff$ $Y = 2tX - t^2$ を満たす実数 $t$ が存在

となる。式を変形することで

• $(X,Y) \in C$ $\iff$ $t^2 - 2tX + Y = 0$ を満たす実数 $t$ が存在

となる。$t^2 - 2tX + Y = 0$ の判別式を $D$ とすると $$D = X^2 - Y$$ となる。

以上をまとめると

• $(X,Y) \in C \iff D \geqq 0$ すなわち $Y \leqq X^2$

である。

よって $C$ は $y \leqq x^2$ となる。

1と同様に考えると，$t^2 - 2tX + Y = 0$ が $0 \leqq t \leqq 2$ の範囲に解を持つ条件を求めればよい。

$f(t) = t^2 - 2tX + Y$ とおく。

$$f(t) = (t-X)^2 - X^2 + Y$$

$X,Y$ を自由に動かしたときの $f(t)$ の $0\leqq t\leqq 2$ での最小値が $0$ 以下で，最大値が $0$ 以上である条件を求めるとよい。

1. $X < 0$ のとき
   $f$ は $t=2$ のとき最大値 $4-4X+Y$，$t=0$ のとき最小値 $Y$ を取る。
   よって，求めるべき条件は $4-4X+Y \geqq 0$，$Y \leqq 0$ である。

2. $0 \leqq X \leqq 1$ のとき
   $f$ は $t=2$ のとき最大値 $4-4X+Y$，$t=X$ のとき最小値 $Y-X^2$ を取る。
   よって，求めるべき条件は $4-4X+Y \geqq 0$，$Y-X^2 \leqq 0$ である。

3. $1 < X \leqq 2$ のとき
   $f$ は $t=0$ のとき最大値 $Y$，$t=X$ のとき最小値 $Y-X^2$ を取る。
   よって，求めるべき条件は $Y \geqq 0$，$Y-X^2 \leqq 0$ である。

4. $2 < X$ のとき
   $f$ は $t=0$ のとき最大値 $Y$，$t=2$ のとき最小値 $4-4X+Y$ を取る。
   よって，求めるべき条件は $Y \geqq 0$，$4-4X+Y \leqq 0$ である。

以上をまとめると $$\begin{cases} 4x-4 \leqq y \leqq 0 &(x < 0)\\ 4x-4 \leqq y \leqq x^2 &(0 \leqq x \leqq 1)\\ 0 \leqq y \leqq x^2 &(1 < x \leqq 2)\\ 0 \leqq y \leqq 4x-4 &(2 < x) \end{cases}$$ となる。

求める領域を $C$ とおく。

$t^2 - Xt + Y = 0$ は $x,y$ を解に持つ二次方程式である。

この方程式が $1$ より小さい解と $0$ より大きい解の2解を持つ条件を調べる。

特に，2解が共に $1$ 以上のときと，2解が共に $0$ 以下の場合を求めれば，その補集合が $C$ である。

方程式の判別式を $D$ とおくと，$D = X^2 - 4Y$ である。よって，実数解を持つためには $Y \leqq \dfrac{1}{4} X^2$ が必要となる。

以下，$f(t) = t^2 - Xt + Y$ とおく。

(i) 2解が $1$ 以上のとき

条件は

• $f(1) \geqq 0$，対称軸について $\dfrac{X}{2} \geqq 1$

の2つである。それぞれ

• $Y \geqq X-1$，$X \geqq 2$

と表される。

(ii) 2解が $0$ 以下のとき

条件は

• $f(0) \geqq 0$，対称軸について $\dfrac{X}{2} \leqq 0$

の2つである。それぞれ

• $Y \geqq 0$，$X \leqq 0$

と表される。

以上より求める範囲は $$\begin{cases} Y < 0 &(X \leqq 0)\\ Y \leqq \dfrac{1}{4} X^2 &(0 < X < 2)\\ Y < X-1 &(2 \leqq X) \end{cases}$$ となる。

図示すると下図のようになる。（点線は含まない）

（なお，上図ではイメージしやすいように点を打ってあるが，実際に答案にする際に描く必要はない）

求める領域を $C$ とする。

直線の式は $$y = -t^2 x + t^3 + t^2$$ である。

$x = k$ で $C$ を切ったとき，その切り口の $y$ 座標は $$y = t^3 - (k-1) t^2$$ と表される。

$$\begin{aligned} y' &= 3t^2 - 2(k-1) t\\ &= 3 t \left( t - \dfrac{2}{3} (k-1) \right) \end{aligned}$$ であるため，$t = 0 , \dfrac{2}{3} (k-1)$ で極値をとる。

1. $\dfrac{2}{3} (k-1) \leqq 0$ すなわち $k \leqq 1$ のとき
   増減表は $$\begin{array}{c|ccc} t & 0 & \cdots & 1\\ \hline y' & 0 & + & +\\ \hline y & 0 & \nearrow & 2-k \end{array}$$ である。

2. $0 \leqq \dfrac{2}{3} (k-1) \leqq 1$ すなわち $1 \leqq k \leqq \dfrac{5}{2}$ のとき
   増減表は $$\begin{array}{c|ccccc} t & 0 & \cdots & \dfrac{2}{3} (k-1) & \cdots & 1 \\ \hline y' & 0 & - & 0 & + & \\ \hline y & 0 & \searrow & -\dfrac{4}{27} (k-1)^3 & \nearrow & 2-k \end{array}$$ である。

3. $\dfrac{2}{3} (k-1) \geqq 1$ すなわち $k \geqq \dfrac{5}{2}$ のとき
   増減表は $$\begin{array}{c|ccc} t & 0 & \cdots & 1\\ \hline y' & 0 & - & -\\ \hline y & 0 & \searrow & 2-k \end{array}$$ である。

増減表を元に値域をまとめると次のようになる。 $$\begin{cases} 0 \leqq y \leqq 2-x &(x \leqq 1)\\ -\dfrac{4}{27} (x-1)^3 \leqq y \leqq 2-x &(1 \leqq x \leqq 2)\\ -\dfrac{4}{27} (x-1)^3 \leqq y \leqq 0 &\left( 2 \leqq x \leqq \dfrac{5}{2} \right)\\ 2-x \leqq y \leqq 0 &\left( \dfrac{5}{2} \leqq x \right) \end{cases}$$

（なお，上図ではイメージしやすいように線を引いてあるが，実際に答案にする際に描く必要はない）