最良近似多項式に関するおもしろい定理

まず，$a=0,b=\dfrac{1}{2}$ とすれば，差の最大値は $\dfrac{1}{2}$ になる。

これが唯一の最適解であることを示す。

もし，差の最大値が $\dfrac{1}{2}$ 以下なら

$g(-1)\geqq\dfrac{1}{2}$ より $-a+b\geqq\dfrac{1}{2}$

$g(0)\leqq\dfrac{1}{2}$ より $b\leqq\dfrac{1}{2}$

$g(1)\geqq\dfrac{1}{2}$ より $a+b\geqq\dfrac{1}{2}$

1つめと3つめの式より $2b\geqq 1$，つまり $b\geqq\dfrac{1}{2}$

これと2つめの式より $b=\dfrac{1}{2}$ さらに1つめと2つめの式より $a=0$ がわかる。

$n=2$ のときの定理1から分かる。つまり,

$\displaystyle\max_{-1\leqq x\leqq 1}|x^2+a_1x+a_0|$ を最小にするのは $\dfrac{1}{2}T_2(x)=x^2-\dfrac{1}{2}$ であるので，$x^2$ に最も「近い」1次以下の関数は $g(x)=\dfrac{1}{2}$

$[a,b]=[1,1]$，$n\to n-1$，$f(x)=x^n$ として定理2を使う。

$x^n$ に $[-1,1]$ で最も「近い」$n-1$ 次以下の多項式がただ1つ存在し，以下の条件を満たす。

条件：相異なる $n+1$ 点 $x_1<\cdots<x_{n+1}$ が存在して，$k=1,...,n+1$ に対して $$|x_k^n-P(x_k)|=\displaystyle\max_{a\leqq x\leqq b}|x^n-P(x)|$$ かつ符号が交代的。

あとは，$x^n-P(x)=\dfrac{1}{2^{n-1}}T_n(x)$ のときにこの条件を満たすことを示せばよい。

$|T_n(\cos\theta)|=|\cos n\theta|$ であり，これが最大になるのは $x_k=\cos\dfrac{k\pi}{n}\:(k=0,...,n)$ のときで $n+1$ 点あり符号も交代的なのでOK。

（$\theta$ を $\pi$ から $0$ まで動かすと， $\cos\theta$ は $-1$ から $1$ まで動く。$\cos n\theta$ は振動しながら，$\theta=\dfrac{k\pi}{n}$ で絶対値最大の $\pm 1$ を交互に取る）