積分

置換積分を用いずに積分速度を上げる公式

積分速度を上げる小技を紹介します。

(xa)tdx=1t+1(xa)t+1+C(t1) \int (x-a)^t dx=\dfrac{1}{t+1} (x-a)^{t+1}+C \quad (t\neq -1)

→ 置換積分を用いずに積分速度を上げる公式

シュワルツの不等式の積分形

シュワルツの不等式の積分バージョン

(pqf(x)2dx)(pqg(x)2dx)(pqf(x)g(x)dx)2 \left(\int_p^q f(x)^2dx\right)\left(\int_p^q g(x)^2dx\right) \geq \left(\int_p^q f(x)g(x)dx\right)^2

等号成立条件は g(x)=tf(x)g(x)=tf(x) となる tt が存在する(または f=0f=0 )こと。

シュワルツの不等式の積分バージョンを紹介します。

→ シュワルツの不等式の積分形

三角関数と指数関数の積の積分を一発で求める公式

三角関数と指数関数の積の積分は部分積分を2回行って求めるのが定石ですが,計算量も多くミスしやすいので,公式として覚えておくとスピードアップや検算に役立ちます:

  • eaxcosbxdx=eaxa2+b2(acosbx+bsinbx)+C\displaystyle\int e^{ax}\cos bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b \sin bx)+C

  • eaxsinbxdx=eaxa2+b2(asinbxbcosbx)+C\displaystyle\int e^{ax}\sin bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b \cos bx)+C

→ 三角関数と指数関数の積の積分を一発で求める公式

放物線と直線で囲まれた面積を高速で求める1/6公式

6分の1公式

16\dfrac{1}{6} 公式:放物線 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c と直線 y=px+qy=px+q の交点の xx 座標を α,β(α<β)\alpha, \beta\:(\alpha < \beta) とおくとき,放物線と直線で囲まれた部分の面積は,

a6(βα)3\dfrac{|a|}{6} (\beta-\alpha)^3

→ 放物線と直線で囲まれた面積を高速で求める1/6公式

ベータ関数の積分公式

ベータ関数の積分公式

m,nm, n00 以上の整数のとき,以下のような積分公式が成立する(ベータ関数の積分公式):

(i) 第一種オイラー積分 αβ(xα)m(βx)ndx=m!n!(m+n+1)!(βα)m+n+1 \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m(\beta-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!} (\beta-\alpha)^{m+n+1} (ii) 特に,α=0,β=1\alpha=0, \beta=1 とすると, 01xm(1x)ndx=m!n!(m+n+1)! \int_0^1 x^m(1-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}

→ ベータ関数の積分公式

1/sinx(サイン分の1)と1/cosx(コサイン分の1)の積分

1sinxdx=12log(1cosx1+cosx)+C1cosxdx=12log(1+sinx1sinx)+C \int \dfrac{1}{\sin x}dx=\dfrac{1}{2}\log\left(\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)+C\\ \int \dfrac{1}{\cos x}dx=\dfrac{1}{2}\log\left(\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)+C

サイン分の1,コサイン分の1の積分のやり方を解説します。方法は複数あります。

→ 1/sinx(サイン分の1)と1/cosx(コサイン分の1)の積分

sinのn乗,cosのn乗の積分公式

sinnx,cosnx\sin^n x, \cos^n x の定積分は部分積分と漸化式を使って求めることができる。

→ ウォリス積分~sinのn乗,cosのn乗の積分公式

ルートx^2+a^2の積分計算の2通りの方法

公式1:dxx2+a2=log(x+x2+a2)\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\log(x+\sqrt{x^2+a^2})

公式2:x2+a2dx=12(xx2+a2+a2log(x+x2+a2))\displaystyle\int \sqrt{x^2+a^2}dx=\dfrac{1}{2}(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\log(x+\sqrt{x^2+a^2}))

今回はマニアックな不定積分の公式です。 sinh\sinh (ハイパボリックサイン)の逆関数のような形が出現しています。 積分定数は省略していますが,答案では忘れないでください!

→ ルートx^2+a^2の積分計算の2通りの方法

ヤングの不等式の3通りの証明

ヤングの不等式

a,b>0,p,q>1,1p+1q=1a, b > 0,p,q > 1, \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1 を満たすとき, app+bqqab\dfrac{a^p}{p}+\dfrac{b^q}{q}\geq ab

→ ヤングの不等式の3通りの証明

対称性を用いた定積分の計算(King Property)

King Property

abf(x)dx=abf(a+bx)dx \int_a^b f(x)dx=\displaystyle\int_a^bf(a+b-x)dx

A=BA=B のとき,A=A+B2A=\dfrac{A+B}{2} という自明な等式を用いて定積分を計算できる場合があります。

→ 対称性を用いた定積分の計算(King Property)

ガウス積分の公式の2通りの証明

ガウス積分とは,以下のような定積分のことです。

eax2dx=πa\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}

(ただし a>0a > 0

→ ガウス積分の公式の2通りの証明

なぜ定積分で面積が求まるのか

面積は微分の逆の操作を用いて求めることができる。

一見面積とは無縁な微分という操作の逆を考えることで面積が求められるというのは驚きです。

→ なぜ定積分で面積が求まるのか

三角関数の積の積分と直交性

三角関数の積の積分は積和公式で和に直すことで積分できる。

→ 三角関数の積の積分と直交性

瞬間部分積分のやり方と例題2問

瞬間部分積分は複数回部分積分が必要な問題を即効で解く方法です,めんどくさい計算をかなり省略できます,オススメ!

→ 瞬間部分積分のやり方と例題2問

極方程式の面積公式と例題

極方程式と面積

r(θ)r(\theta) が連続関数のとき,極方程式 r=r(θ)r=r(\theta) で表される曲線と θ=α,β\theta=\alpha, \beta で囲まれる部分の面積は,αβ12r(θ)2dθ\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \dfrac{1}{2} r(\theta)^2 d\theta で表される。

→ 極方程式の面積公式と例題

積分公式一覧

覚えておくべき積分公式をただひたすら一覧形式で列挙しました。いずれも積分後の式を微分することで確かめられます。

→ 積分公式一覧

バームクーヘン積分の例と証明

バウムクーヘン分割

バウムクーヘン分割の図

連続関数 y=f(x)y=f(x)xx 軸,x=α,x=βx=\alpha,x=\beta\: (ただし 0α<β0\leq \alpha <\beta )で囲まれた図形を yy 軸の回りに回転させてできる立体の体積 VV は,

V=αβ2πxf(x)dxV=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}2\pi x|f(x)|dx

難関大受験者は知っておくべき有名な求積テクニックです。

→ バームクーヘン積分の例と証明

パップスギュルダンの定理とその証明

パップスギュルダンの定理

面積が SS である平面図形 AA がある。 AA を直線 ll の回りに回転させてできる回転体の体積 VV は, V=2πgxS=V=2\pi g_xS=(重心の移動距離) ×S\times S

gxg_x は重心と回転軸の距離)

ただし,AA を回転させる過程で AA 自身とは重ならないとする。

→ パップスギュルダンの定理とその証明

傘型分割(傘型積分)と斜回転体の体積

傘型分割

傘型分割

ymx,yf(x),axby\leq mx,\:y\geq f(x),\\\:a\leq x\leq b

が定める図形を l:y=mxl:y=mx の回りに回転させてできる図形の体積 VV は,

V=πcosθab(mxf(x))2dxV=\pi\cos\theta\displaystyle\int_a^b(mx-f(x))^2dx

ただし,θ\thetallxx 軸のなす角で,tanθ=m\tan\theta=m

斜回転体の体積を求めるための公式です。

→ 傘型分割(傘型積分)と斜回転体の体積

ガウスグリーンの定理の入試への応用

ガウスグリーンの定理

ガウスグリーンの定理

x=x(t),y=y(t)x=x(t),\:y=y(t) と媒介変数表示された曲線 CC がある。 αtβ\alpha\leq t\leq \beta の範囲で tt の増加とともに (x(t),y(t))(x(t),y(t)) が原点中心に反時計回りに動くとき,動径が掃いた部分の面積は, S=αβ12(xyyx)dtS=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}(xy'-yx')dt

→ ガウスグリーンの定理の入試への応用

曲線の長さを計算する積分公式(弧長積分)

弧長積分1

ffgg が連続かつ微分可能で ff'gg' も連続とする。

x=f(t),y=g(t)x=f(t), y=g(t) と媒介変数表示された曲線 CCαtβ\alpha\leq t\leq \beta の部分の長さは, αβf(t)2+g(t)2dt\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2}dt

弧長積分2

ff は連続かつ微分可能で ff' も連続とする。

y=f(x)y=f(x) で表される曲線 CCaxba\leq x\leq b の部分の長さは, ab1+f(x)2dx\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}dx

→ 曲線の長さを計算する積分公式(弧長積分)

n次元超球の体積の求め方と考察

nn 次元単位超球の体積は, Vn=πn2Γ(n2+1)V_n=\dfrac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)} となる。

Γ(x)\Gamma(x) はガンマ関数と呼ばれるものです。 xx が整数のときには Γ(x)=(x1)!\Gamma(x)=(x-1)! です。

この記事の目標は VnV_n の導出です。ガンマ関数とか重積分をできるだけ使わずに高校数学で(ほとんど)理解できるようにしています。

→ n次元超球の体積の求め方と考察

台形公式を用いた積分の近似とその誤差

台形公式を使うことで定積分の値を近似的に求めることができる。

台形公式の考え方,応用例(東大の入試問題),テイラー展開を用いた誤差の評価について解説。

→ 台形公式を用いた積分の近似とその誤差

置換積分の公式の証明と例題

置換積分を行うときには変数を置き換えるだけでなく,微分をかけるのを忘れないように。定積分の場合は積分区間の変更も必要。

置換積分(不定積分)の例題→公式の証明

置換積分(定積分)の例題→公式の証明

の順に解説します。

→ 置換積分の公式の証明と例題

log xの積分計算の2通りの方法と発展形

対数関数の不定積分

logxdx=xlogxx+C \int \log xdx=x\log x-x+C

対数関数の積分公式の証明および発展形について解説します。数学が得意な人にとっては前半は簡単かもしれません,発展形2がオススメです。

CC は積分定数とします。

→ log xの積分計算の2通りの方法と発展形

タンジェントとそのn乗の不定積分

  • tanx  dx=logcosx+C\displaystyle\int \tan x \; dx=-\log |\cos x|+C

  • tan2x  dx=tanxx+C\displaystyle\int \tan^2 x \; dx=\tan x-x+C

  • tannx  dx=1n1tann1xtann2xdx\displaystyle\int \tan^n x \; dx=\dfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-\int\tan^{n-2}xdx

tanx,tan2x,tannx\tan x,\tan^2x,\tan^n x の不定積分についてそれぞれ解説します。いずれもタンジェント特有の技を使います。なお,CC は積分定数です。

→ タンジェントとそのn乗の不定積分

球欠,球台の体積と球冠,球帯の表面積

球を平面で切り取った立体の体積,および側面の面積の求め方を解説します。結果を覚える必要はありませんが,導出方法はマスターしておきましょう。

→ 球欠,球台の体積と球冠,球帯の表面積

三角関数の有理式の積分

三角関数の有理式の積分は tanx2=t\tan\dfrac{x}{2}=t と置換することによって必ず計算できる。

多項式÷多項式の形の式を有理式(有理関数)と言います。 sinx,cosx\sin x, \cos x , ( tanx\tan x )の有理式の積分は機械的な計算でできます!

→ 三角関数の有理式の積分

指数関数の積分と関連する公式

exdx=ex+C\displaystyle\int e^xdx=e^x+C

axdx=axloga+C(a>0)\displaystyle\int a^xdx=\dfrac{a^x}{\log a}+C\:(a > 0)

指数関数の不定積分,および関連するいろいろな公式について整理しました。

→ 指数関数の積分と関連する公式

定積分で表された関数の微分の公式

定積分で表された関数の微分の公式

ddxaxf(t)dt=f(x) \frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)

(ただし,f(t)f(t)tt に関する1変数の関数)

このページでは,定積分で表された関数の微分公式の証明,例題,より一般的な公式について解説します。

→ 定積分で表された関数の微分の公式

ボールウェイン積分

00 以上の整数 nn と,k=1nak1\displaystyle\sum_{k=1}^n|a_k|\leq 1 を満たす実数 a1,,ana_1,\cdots, a_n に対して,

0sinxx(k=1nsinakxakx)dx=π2 \int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\left(\prod_{k=1}^n\dfrac{\sin a_kx}{a_kx}\right)dx=\dfrac{\pi}{2}

非常に美しい積分公式です。高校生でも頑張れば雰囲気はつかめると思います。

→ ボールウェイン積分

原始関数の定義といろいろな例

微分すると f(x)f(x) になるような関数 F(x)F(x)f(x)f(x) の原始関数と言う。

前半は簡単な具体例です。後半は原始関数が初等関数で表せない具体例を紹介します。

→ 原始関数の定義といろいろな例

2年生の夢(sophomore’s dream)

Sophomore's dream
  1. 011xxdx=n=11nn\displaystyle\int_{0}^1\dfrac{1}{x^x}dx=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^n}
  2. 01xxdx=n=1(n)n\displaystyle\int_{0}^1x^xdx=-\sum_{n=1}^{\infty}(-n)^{-n}

美しい積分と級数の関係です。名前も面白いです。

→ 2年生の夢(sophomore’s dream)

回転体の体積を求める公式

回転体の体積

y=f(x)y=f(x)x=ax=ax=bx=bxx 軸で囲まれた領域を xx 軸のまわりに回転させてできる図形の体積は,

V=abπ{f(x)}2dx V=\int_{a}^b\pi \{f(x)\}^2dx

例題,証明,および回転体の体積を求める他の公式について。

→ 回転体の体積を求める公式

ルジャンドル多項式の性質と計算

直交多項式系の代表例であるルジャンドル多項式について,4つの同値な定義(性質)を紹介します。また,実際にルジャンドル多項式を計算してみます。

→ ルジャンドル多項式の性質と計算

算術幾何平均とレムニスケートの長さ

112\sqrt{2} の算術幾何平均 M(1,2)M(1,\sqrt{2}) は,単位円周の長さ l=2πl=2\pi とレムニスケートの長さ LL の比に等しい:M(1,2)=lLM(1,\sqrt{2})=\dfrac{l}{L}

「算術幾何平均」や「レムニスケートの長さ」については後述します。非常に美しい定理です。

→ 算術幾何平均とレムニスケートの長さ

x^3/e^x-1の定積分

0x3ex1dx=π415 \int_0^{\infty}\dfrac{x^3}{e^x-1}dx=\dfrac{\pi^4}{15}

Planck の法則から Stefan–Boltzmann 定数を計算するときに登場する広義積分です[1]。

→ x^3/e^x-1の定積分

極座標における回転体の体積公式

極座標における回転体の体積公式

極座標平面において,図のように θ=α,θ=β,r=r(θ)\theta=\alpha,\:\theta=\beta,\:r=r(\theta) で囲まれた,xx 軸の上側にある図形を DD とする。 DDxx 軸(始線)の回りに回転させてできる立体の体積は,

23παβr(θ)3sinθdθ\dfrac{2}{3}\pi\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^3\sin\theta d\theta

極座標における回転体の体積公式について,例題と証明方法などを紹介します。

→ 極座標における回転体の体積公式

サイクロイド曲線のグラフと面積・体積・長さ

サイクロイド曲線とxx軸で囲まれた部分の面積は 3πa23 \pi a^2

xx軸周りの回転体の体積は 5π2a35\pi^2 a^3

サイクロイド曲線の長さは 8a8a

→ サイクロイド曲線のグラフと面積・体積・長さ

部分積分の公式と覚え方,例題

2つの関数の積の積分を変形する部分積分の公式を紹介します。

不定積分: f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx

定積分: abf(x)g(x)dx=[f(x)g(x)]ababf(x)g(x)dx\int_a^b f(x)g'(x)dx=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)dx

→ 部分積分の公式と覚え方,例題

区分求積法をわかりやすく【意味・例題・応用】

axba \leq x \leq b において連続な関数 y=f(x)y=f(x) に対して,
limnbank=1nf(a+(ba)kn)=abf(x)dx\lim_{n \to \infty}\dfrac{b-a}{n}\sum_{k=1}^n f\left(a+(b-a)\dfrac{k}{n}\right) =\int_a^b f(x)dx

特に a=0,b=1a=0,b=1 のとき, limn1nk=1nf(kn)=01f(x)dx\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)dx

→ 区分求積法をわかりやすく【意味・例題・応用】

積分方程式の解き方

求めたい関数が被積分関数として現れるような方程式を,積分方程式といいます。この記事では,高校数学で登場する積分方程式の解き方について,例題7問でしっかり解説します。

→ 積分方程式の解き方

オイラー・マクローリンの和公式

オイラー・マクローリンの和公式を紹介します。見た目はゴツいですが高校数学の範囲で理解できます。そして理解できたら楽しい定理です。

オイラー・マクローリンの和公式(Euler–Maclaurin formula)

任意の正の整数 m,nm,n に対して,

x=1nf(x)0nf(x)dx=12{f(n)f(0)}+k=1mb2k(2k)!{f(2k1)(n)f(2k1)(0)}1(2m)!0nB2m(xx)f(2m)(x)dx\begin{aligned} &\sum_{x=1}^nf(x)-\int_0^nf(x)dx\\ &=\dfrac{1}{2}\{f(n)-f(0)\}\\ &\quad +\sum_{k=1}^m \dfrac{b_{2k}}{(2k)!} \{ f^{(2k-1)} (n)-f^{(2k-1)} (0) \}\\ &\quad\quad -\dfrac{1}{(2m)!} \int_0^n B_{2m} (x-\lfloor x\rfloor) f^{(2m)}(x)dx \end{aligned}

ただし,f(x)f(x)0xn0\leq x \leq n において C2mC^{2m} 級である関数。

記号や用語の意味も含めてわかりやすく解説します。

→ オイラー・マクローリンの和公式

広義積分の意味といろいろな例

広義積分とは,大雑把に言うと定積分の(積分区間についての)極限です。

いろいろな例を見ながら広義積分の理解を深めます。

→ 広義積分の意味といろいろな例

ディラックのデルタ関数

任意の(なめらかな)関数 f(x)f(x) に対して f(x)δ(x)dx=f(0)\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)dx=f(0) を満たすような「仮想的な」関数 δ(x)\delta(x) を,ディラック(Dirac)のデルタ関数という。

→ ディラックのデルタ関数

ドーナツ(トーラス体・円環体)の体積・表面積を2通りの方法で計算

ドーナツの体積と表面積を計算してみましょう。

考える図形

pic01 半径 rr の円を軸のまわりに回転させてできる図形を考える。軸から円の中心までの距離を R(r)R\:(\geq r) とする。

このような,円を回転させてできるドーナツのような立体をトーラス体(円環体)と言います。トーラス体の表面をトーラスと言います。

→ ドーナツ(トーラス体・円環体)の体積・表面積を2通りの方法で計算

楕円積分の意味と身近な4つの例

楕円積分(ルジャンドルの標準形)
  • E(k,ϕ)=0ϕ1k2sin2θdθE(k,\phi)=\displaystyle\int_0^{\phi}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta
    のことを第二種楕円積分という。

  • F(k,ϕ)=0ϕ11k2sin2θdθF(k,\phi)=\displaystyle\int_0^{\phi}\dfrac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta
    のことを第一種楕円積分という。

楕円積分の意味と,楕円積分が現れる4つの例を紹介します。

→ 楕円積分の意味と身近な4つの例

ガウス求積法(Gauss–Legendre 公式)

定積分を近似計算する話題です。問題設定から解説して,後半ではガウス求積法(Gaussian quadrature)を紹介します。直交多項式が出てきておもしろいです。

→ ガウス求積法(Gauss–Legendre 公式)

不定積分の意味・公式・例題

高校数学における不定積分について基礎からわかりやすく解説します。

  1. 不定積分の意味
  2. (数学II)簡単な関数の不定積分
  3. (数学III)いろいろな関数の不定積分

の順に解説します。

→ 不定積分の意味・公式・例題

定積分

高校数学で習う定積分について基礎からわかりやすく説明します。

abf(x)dx=F(b)F(a) \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

→ 定積分

重積分の変数変換とヤコビアン

重積分の変数変換

2変数 x,yx,y を2変数 u,vu,v に変換する。

このとき xyxy 平面上の領域 DDuvuv 上の領域 EE に一対一に対応するとき,DD 上の積分可能関数 ff は次のように計算される。 Df(x,y)dxdy=Ef(x(u,v),y(u,v))Jdudv \iint_D f(x,y) dxdy = \iint_E f(x(u,v),y(u,v)) |J| dudv ただし JJ はヤコビアン (dxdudxdvdydudydv)\begin{pmatrix} \frac{dx}{du} & \frac{dx}{dv}\\ \frac{dy}{du} & \frac{dy}{dv} \end{pmatrix} である。

この記事では重積分の変数変換(置換積分)とその具体的な計算例を紹介します。

→ 重積分の変数変換とヤコビアン

重積分を用いたバーゼル問題の美しい証明

バーゼル問題

n=11n2=π26 \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}

この記事ではバーゼル問題を重積分を用いて証明します。

変数変換のテクニックが大変美しい証明となっています。

→ 重積分を用いたバーゼル問題の美しい証明

項別微分・項別積分

定理

関数 f(x)f(x)f(x)=n=0anxn\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n と無限級数展開されているとする。

この級数の収束半径を rr とすると,x<r|x| < r のもとで項別微分・項別積分ができる:

f(x)=n=1nanxn1f(x)dx=n=0anxn+1n+1+C\begin{aligned} f'(x) &= \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}\\ \int f(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_n x^{n+1}}{n+1} + C \end{aligned}

項別微分は,(f(x)+g(x))=f(x)+g(x)(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) という公式の一般化です。

→ 項別微分・項別積分