複素関数論（複素解析）まとめ

複素数 $z=a+bi$ に対して，指数関数 $e^z$ は以下の式で定義される：
$e^{(a+bi)}=e^a(\cos b+i\sin b)$

特に，$e^{\pi i}=-1$ が成立する（オイラーの公式）。

$0$ でない複素数 $z$ に対してその対数は，
$\log z=\log |z|+i\:\mathrm{arg}\:z$

これは多価関数になる。また，対数関数をもとに複素数ベキも定義できる。すると，$i^i$ の主値は $e^{-\frac{\pi}{2}}$ になる。

複素関数 $f(z)$ が $z=z_0$ で微分可能とは，

$\displaystyle\lim_{z\to z_0}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$ が存在するという意味。

複素関数 $f(z)$ の積分は，区分的になめらかな曲線 $C$ 上での線積分 $$\displaystyle\int_C f(z)dz$$ として定義される。

正則関数をぐるっと一周積分すると値は $0$ になる。つまり，

$f$ を単連結な（つながっていて穴がない）領域 $D$ 内で正則な複素関数とする。$C$ は $D$ 内の単純閉曲線（自分自身と交わらない閉じた曲線）とするとき $$\oint_{C} f(z) \; dz = 0$$

(単純)閉曲線 $C$ と，$C$ で囲まれた領域 $D$ を考える。$D$ 上で $C^1$ 級の任意の関数 $P(x,y)$，$Q(x,y)$ に対して以下が成り立つ。

$$\oint_{C} (P(x,y) \; dx + Q(x,y) \; dy) = \iint_{D} \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \; dxdy$$

正則関数の値は，自分を囲む曲線上での積分値で表せる。つまり，以下が成立する。

• $D$ を単純閉曲線（自分と交わらない閉じた曲線）で囲まれた領域とする。
• $f$ を領域 $\overline{D} = D \cup \partial D$ で正則な関数とする。

このとき $D$ の内部の任意の点 $z$ で $$f(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta$$ となる（線積分の向きは反時計回り，より厳密には領域の内側から見て左周りに定める）。

正則関数は微分可能な点のまわりでテイラー展開できるが，微分可能でない点（孤立特異点）のまわりでも，テイラー展開をマイナス乗まで拡張したような展開（ローラン展開）ができる。つまり，

$0 < |z-a| < R$ で正則（微分可能）な複素関数 $f(z)$ は，以下のようにべき級数展開できる。 $$f(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} a_n (z-a)^n$$ ただし，各係数 $a_n$ は $$a_n = \dfrac{1}{2 \pi i} \oint_{|z - a| = r} \dfrac{f(z)}{(z - a)^{n+1}} \; dz$$ で計算できる （$r$ は $0 < r < R$ を満たす実数ならなんでもよい）。

大きい周回積分=内部の各孤立特異点まわりでの積分の和

正確には以下の通り：

• 単連結な領域 $D$ 内に，区分的になめらかな単純閉曲線 $C$ がある
• $f(z)$ は $C$ で囲まれた領域で有限個の点 $\{a_1 , a_2 \cdots ,a_n\}$ を除いて正則

このとき， $$\dfrac{1}{2\pi i} \oint_{C} f(z) \; dz = \sum_{i=1}^n \mathrm{Res} (f , a_i)$$ である。ただし，$\mathrm{Res} (f , a_i)$ は $f(z)$ の $z=a_i$ での留数とする。

留数定理を使うことで，実解析の範囲では計算が困難であった定積分が計算できる場合がある。例えば，

• $\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{\log x}{x^2+4} \;dx$
• $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \sin x^2 \; dx$
• $\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{dx}{x^3+1}$

有界な整関数は定数関数のみである。ただし，複素平面 $\mathbb{C}$ 全体で正則な関数を整関数という。

特殊な複素積分によって複素関数の零点・極の個数が計算できる。正確には以下の通り。

$D$ をなめらかな曲線に囲まれた有界な領域とする。

$f$ を $\partial D$ 上で極も零点も持たない $\overline{D}$ 上の有理型関数とする。

$f$ の $D$ 上の零点の（重複度を含めた）個数を $N$，極の（重複度を含めた）個数を $P$ とする。このとき $$\dfrac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial D} \dfrac{f' (z)}{f(z)} dz = N-P$$ である。

$$\dfrac{\pi^2}{\sin^2 \pi z} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \dfrac{1}{(z-n)^2}\\ \pi \cot \pi z = \dfrac{1}{z} + \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2z}{z^2 - n^2}$$

$$\sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1- \dfrac{z^2}{n^2} \right)$$

リーマン球面とは，複素平面 $\mathbb{C}$ に無限遠点 $\infty$ を追加したものである。

$f,g$ を領域 $D$ 上の正則関数とする。

1. $f,g$ が $D$ 内のある線分・なめらかな曲線上（$D \cap \mathbb{R}$ など）で一致するとき，$D$ 全体でも一致する。
2. $f,g$ が $D$ 内の開集合 $O$ 上で一致するとき，$D$ 全体でも一致する。

正則かつ有界なら特異点は除去可能。正確には，以下の通り。

$f$ は，$a$ を孤立特異点として持ち，$$\Delta (a,R) \backslash \{ a \} = \{ z \mid 0 < |z-a| < R \}$$ 上で正則かつ有界な関数とする。このとき，$a$ は除去可能特異点である。すなわち，$f(a)$ を適切に追加で定めれば $f$ は $\Delta (a,R)$ 上で正則にできる。

有界な領域 $D$ 上の正則関数 $f (z)$ について，ある $z_0 \in D$ で $|f|$ が最大値を取るとき，$f$ は定数関数である。