検算テクニック

(i)1辺の長さが $a$ の正三角形の面積 $S$ は，

$S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$

(ii)1辺の長さが $a$ の正四面体の体積 $V$ は，

$V=\dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3$

$\displaystyle\int e^{ax}\cos bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b \sin bx)+C$

$\displaystyle\int e^{ax}\sin bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b \cos bx)+C$

三角形 $ABC$ 内に点 $X$ があり，$p\overrightarrow{XA}+q\overrightarrow{XB}+r\overrightarrow{XC}=\overrightarrow{0}$

が成立するとき，面積比は

△ $XAB$：△ $XBC$：△ $XCA＝r:p:q$

三角関数の $\dfrac{0}{0}$ 不定形の極限を求める問題はマクローリン展開を用いた多項式近似で確実に，しかも迅速に解くことができる。

$1, 2,\cdots, n$ を並び替えてできる順列のうち，全ての $i=1, 2, \cdots, n$ に対して $i$ 番目が $i$ でないものの個数 $a_n$ は，以下の式で表される：

$a_n=n!\displaystyle\sum_{k=2}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}$

同じものを含む円順列の個数はバーンサイドの公式を使って求めることができる。

円順列の個数$=\dfrac{1}{|G|}\displaystyle\sum_{g\in G}\phi(g)$

平面における直線の方程式は

1：$y=mx+n$

が基本だが，

2：$ax+by+c=0$

も覚えておくと嬉しいことが3つある。

検算は重要です！

三次関数のグラフに関して以下の性質が成り立つ

対称性1：（変曲点に関して）点対称である

対称性2：図において，$A,B,C,D,E$ は等間隔に並んでいる（4等分の法則）

（位相が等差数列なら）複素指数関数と等比数列の和の公式を用いて三角関数の和を計算することができる：

$\displaystyle\sum_{k=0}^n\sin(\theta+k\phi)=\dfrac{\sin(\frac{(n+1)\phi}{2})\sin(\theta+\frac{n\phi}{2})}{\sin\frac{\phi}{2}}$

$\displaystyle\sum_{k=0}^n\cos(\theta+k\phi)=\dfrac{\sin(\frac{(n+1)\phi}{2})\cos(\theta+\frac{n\phi}{2})}{\sin\frac{\phi}{2}}$

ロピタルの定理（大雑把バージョン）：

$\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ が $\dfrac{0}{0}$ または $\dfrac{\infty}{\infty}$ の不定形で「ある条件」を満たせば，

$\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$

シンプソンの公式：

$f(x)$ が三次以下の関数のとき，

$\displaystyle\int_a^bf(x)dx=\dfrac{(b-a)}{6}\{f(a)+4f(\dfrac{a+b}{2})+f(b)\}$

$\log_{10} 2\simeq 0.3010$

$\log_{10} 3\simeq 0.4771$

$\log_{10} 7\simeq 0.8451$

$\log_{e} x\simeq 2.3\log_{10} x$