検算テクニック

• $\log_{10} 2\fallingdotseq 0.3010$
• $\log_{10} 3\fallingdotseq 0.4771$
• $\log_{10} 7\fallingdotseq 0.8451$
• $\log_{e} x\fallingdotseq 2.3\log_{10} x$

三次関数のグラフに関して以下の性質が成り立つ：

1. 変曲点に関して点対称である

2. 図において，$A,B,C,D,E$ は等間隔に並んでいる（4等分の法則）
   （$C$ は変曲点，$B,D$ は極大，極小点，$A,E$ は極大，極小点と同じ高さの点の $x$ 軸への射影）

$y=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ が $x=\alpha$ で極値を取るとき，$g'(\alpha)\neq 0$ ならその値は $\dfrac{f'(\alpha)}{g'(\alpha)}$ である。

$\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ が $\dfrac{0}{0}$ または $\dfrac{\infty}{\infty}$ の不定形で「ある条件」を満たせば，

$\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$

• 放物線 $y=ax^2+bx+c$
• 放物線と $x=\alpha$ で接する接線
• $x=\beta$

という3つのグラフで囲まれた部分の面積は，

$\dfrac{|a|}{3}|\beta-\alpha|^3$

円に内接する四角形 $ABCD$ において, $$AB×CD＋AD×BC＝AC×BD$$ が成立する。これをトレミーの定理と言う。

$n\geqq 2$ とする。$1$ から $n$ までの整数を並び替えてできる順列のうち，すべての $i$ について「$i$ 番目が $i$ でない」を満たすものの個数 $a_n$ は

$a_n=n!\displaystyle\sum_{k=2}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}$

（位相が等差数列なら）三角関数の和を計算できる：

$$\sum_{k=0}^n \sin(\theta+k\phi) = \dfrac{\sin \left( \frac{(n+1)\phi}{2} \right) \sin \left( \theta+\frac{n\phi}{2} \right)}{\sin\frac{\phi}{2}}\\ \sum_{k=0}^n \cos (\theta+k\phi) = \dfrac{\sin \left( \frac{(n+1)\phi}{2} \right) \cos \left( \theta+\frac{n\phi}{2} \right)}{\sin\frac{\phi}{2}}$$

$f(x)$ が3次以下の関数のとき，

$\displaystyle\int_a^bf(x)dx\\=\dfrac{(b-a)}{6}\{f(a)+4f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)+f(b)\}$