平行六面体の話題(体積・分類・角度の三角不等式)

更新日時 2023/05/24
平行六面体

各面が平行四辺形である六面体のことを平行六面体と呼ぶ。 平行六面体の例

平行六面体に関して3つの話題を紹介します。「体積」「平行六面体の分類」「角度の三角不等式」です。

目次
  • 平行六面体の体積

  • 特殊な平行六面体

  • 角度の三角不等式

平行六面体の体積

平行六面体は「1つの頂点から出る3本の辺」を定めると1つに決まります。 平行六面体とベクトル

この3本の辺に対応するベクトルを aundefined,bundefined,cundefined\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} とおきます。

平行六面体の体積は,3本のベクトル aundefined=(ax,ay,az),bundefined=(bx,by,bz),cundefined=(cx,cy,cz)\overrightarrow{a}=(a_x,a_y,a_z),\overrightarrow{b}=(b_x,b_y,b_z),\overrightarrow{c}=(c_x,c_y,c_z) を使って以下のように計算できます。

平行六面体の体積

aundefined,bundefined,cundefined\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} が張る平行六面体の体積は,

axbyczaxbzcy+aybzcxaybxcz+azbxcyazbycx|a_xb_yc_z-a_xb_zc_y+a_yb_zc_x-a_yb_xc_z+a_zb_xc_y-a_zb_yc_x|

である。ベクトルの内積と外積を用いると以下のように簡潔に表せる:

aundefined(bundefined×cundefined)|\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})|

また,行列式を使って

det(axayazbxbybzcxcycz)\left|\det\begin{pmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{pmatrix}\right|

とも表せる。

証明

「成分による式」が正しいことは以下の2つからわかる。

  • 平行六面体の体積は四面体 OABCOABC の体積の6倍(四面体は底面積半分かつ錐体なので3分の1)
  • 四面体 OABCOABC の体積はサラスの公式と使い方の記事末で導出したように 16axbyczaxbzcy+aybzcxaybxcz+azbxcyazbycx\dfrac{1}{6}|a_xb_yc_z-a_xb_zc_y+a_yb_zc_x-a_yb_xc_z+a_zb_xc_y-a_zb_yc_x| になる。

「成分による式」と「内積と外積の形」が同じ式を表すことは,内積と外積の定義(成分表示)からわかる。

さらに「行列式の形」が同じ式を表すことは行列式の定義からわかる。

なお,内積と外積の形はスカラー三重積と呼ばれます。

特殊な平行六面体

平行四辺形の分類

平行四辺形の分類 平行四辺形の中で,

  • 隣り合う辺が直交するものが長方形です。長方形では対角線の長さが等しいです。
  • すべての辺の長さが等しいものがひし形です。ひし形では対角線が直交します。
  • 長方形かつひし形なものが正方形です。

平行六面体の分類

平行六面体の分類 平行六面体の中で,

  • すべての隣り合う辺が直交するものが直方体です。
  • すべての辺の長さが等しいものが菱面体です。
  • 直方体かつ菱面体なものが立方体です。

四面体の分類

平行六面体の8個の頂点から,隣同士を選ばないように4個を選ぶと四面体が定まります。これを「平行六面体が定める四面体」と呼ぶことにします。

四面体の分類 四面体の中で,

  • 3組の対辺の長さがそれぞれ等しいものを等面四面体と言います。等面四面体直方体から定まります。→等面四面体とその性質
  • 3組の対辺がそれぞれ直交するものを直辺四面体と言います。直辺四面体菱面体から定まります。→直辺四面体(垂心四面体)と24点球の定理
  • 等面四面体かつ直辺四面体なものが正四面体です。正四面体立方体から定まります。

角度の三角不等式

定理

任意の1次独立な3本の空間ベクトル aundefined,bundefined,cundefined\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} に対して

θab+θbc>θac\theta_{ab}+\theta_{bc}>\theta_{ac}

ただし,θab\theta_{ab}aundefined\overrightarrow{a}bundefined\overrightarrow{b} がなす角。θbc,θac\theta_{bc},\theta_{ac} も同様。

証明

aundefined,bundefined,cundefined\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} が張る平行六面体を考える。 角度の三角不等式の証明

BB に集まる角度は 360360^{\circ} 未満なので
(180θab)+(180θbc)+θac<360(180^{\circ}-\theta_{ab})+(180^{\circ}-\theta_{bc})+\theta_{ac}<360^{\circ}

よって θab+θbc>θac\theta_{ab}+\theta_{bc}>\theta_{ac}

※角度の三角不等式,他のおもしろい証明方法があればぜひ教えてください。

ダンボールを潰すときに「お,平行六面体」と思うことがあります。