実数を分数で近似する【ディリクレのディオファントス近似定理】

更新 2023/07/13

実数 rrr に対して，以下を満たす整数 p,qp,qp,q を探しましょう。
∣r−pq∣<1q2\left|r-\dfrac{p}{q}\right|<\dfrac{1}{q^2}∣∣​r−qp​∣∣​<q21​
つまり，
rrr を近似する分数 pq\dfrac{p}{q}qp​ を探す
近似誤差が 1q2\dfrac{1}{q^2}q21​ 未満になるようにする（分母が小さい単純な分数で近似したい）
という問題です。

分数による実数の良い近似

例えば $\pi=3.1415\cdots$ を分数で近似しましょう。

素朴には， $\dfrac{31}{10}$ や $\dfrac{314}{100}$ など，小数を途中で打ち切って $\dfrac{n}{10^k}$ 型の分数で表せば良さそうです。

実は，このような分数では $\left|r-\dfrac{p}{q}\right|<\dfrac{1}{q}$ は達成できますが $\left|r-\dfrac{p}{q}\right|<\dfrac{1}{q^2}$ は一般には達成できません。

以下では，上の赤い式を満たす既約分数 $\dfrac{p}{q}$ を $r$ の良い近似と呼ぶことにします。また， $r,p,q$ は正とします。

この記事のサマリ

$r$ が有理数なら， $r$ の良い近似は有限個しかない
$r$ が無理数なら， $r$ の良い近似が無限個ある
$r$ が無理数なら，連分数展開により $r$ の良い近似が無限個得られる

有理数の良い近似

定理1

$r$ が有理数なら， $r$ の良い近似は有限個しかない。

「近似分数の分母 $q$ を大きくすると，誤差の要求 $\dfrac{1}{q^2}$ が厳しくなるので， $r$ の良い近似にはならなさそう」という発想で証明します。

証明

$r=\dfrac{m}{n}$ とおく。近似誤差について， $\left|r-\dfrac{p}{q}\right|=\dfrac{|qm-pn|}{|qn|}$ であるが，もし $q>n$ なら

$r\neq\dfrac{p}{q}$ なので分子は $1$ 以上
分母は $|qn|<q^2$

つまり， $\left|r-\dfrac{p}{q}\right|>\dfrac{1}{q^2}$ となり良い近似にならない。

よって， $\dfrac{p}{q}$ が良い近似なら分母 $q$ は $n$ 以下である。

分母が有限通りに絞れれば後は簡単。例えば， $r$ の良い近似は $r+1$ 以下である必要があるが，「 $r+1$ 以下」かつ「分母が $n$ 以下」である分数は有限個しかない。

ディリクレのディオファントス近似定理

定理2（ディリクレのディオファントス近似定理）

$r$ が無理数なら， $r$ の良い近似が無限個ある。

証明には「うまいこと $q$ を選べば $qr$ をほぼ整数にできる」こと使います。これはクロネッカーの稠密定理の証明と同じ議論です。

証明

任意の $n$ に対して，整数 $p,q$ をうまく選べば $|qr-p|<\dfrac{1}{n}$ にできる。さらに $0< q\leq n$ とできる（→補足）

このとき， $\left|r-\dfrac{p}{q}\right|<\dfrac{1}{nq}\leq \dfrac{1}{q^2}$ となるが，これは $\dfrac{p}{q}$ が $r$ の良い近似であることを表している。 $n$ は任意なので良い近似が無数に構成できそう。

実際，良い近似が $\dfrac{p_i}{q_i}\:(i=1,...,k)$ の $k$ 個（有限個）あるなら，以下のように $k+1$ 個目を構成できる：

$|q_ir-p_i|$ の最小値よりも $\dfrac{1}{n}$ が小さくなるように $n$ を十分大きく取る。この $n$ から上記の方法で定まる良い近似 $\dfrac{p}{q}$ を持ってくると，これは今までの $k$ 個とは（ $|qr-p|$ が最も小さいので）異なる。

補足： $0$ から $1$ の区間を $N$ 等分する。鳩ノ巣原理より， $\{r\},\{2r\},\cdots,\{(N+1)r\}$ のいずれかは同じ区間に属する。それを $\{ir\}$ と $\{jr\} (i <j)$ とおくと $(j-i)r$ がほぼ整数（最寄りの整数との差が $\dfrac{1}{n}$ 未満）になる。 $p$ をその整数， $q=j-i$ とすればよい。

連分数展開と良い近似

定理3

$r$ の連分数展開を途中で打ち切ったものは $r$ の良い近似になる。

連分数展開については連分数展開とその計算方法で解説しています。

例

$\sqrt{2}$ を連分数展開してみる。

$\sqrt{2}\\ =1+(\sqrt{2}-1)\\ =1+\dfrac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}-1}}\\ =1+\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\\ =1+\dfrac{1}{2+(\sqrt{2}-1)}\\ =1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}\\ =1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}}\\=\cdots$

$2$ 行目で打ち切る（ $\sqrt{2}-1$ を無視する）と $\sqrt{2}\fallingdotseq 1$
$5$ 行目で打ち切る（ $\sqrt{2}-1$ を無視する）と $\sqrt{2}\fallingdotseq \dfrac{3}{2}$
$7$ 行目で打ち切る（ $\sqrt{2}-1$ を無視する）と $\sqrt{2}\fallingdotseq \dfrac{7}{5}$

$1,\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{5}$ はいずれも $\sqrt{2}$ の良い近似になっている！

「 $r$ が無理数なら連分数展開は無限に続くこと」と定理3から定理2がわかります。

定理3の証明は，例えば連分数とディオファントス近似を参照してください。

無理数度

∣r−pq∣<1qA\left|r-\dfrac{p}{q}\right|<\dfrac{1}{q^A}∣∣​r−qp​∣∣​<qA1​ を満たす既約分数 pq\dfrac{p}{q}qp​ が無限にある，という条件を満たす AAA の最大値を実数 rrr の無理数度と呼びます。
定理1より，有理数の無理数度が 222 未満であることがわかります。定理2より，無理数の無理数度は 222 以上であることがわかります。
実は，
有理数の無理数度は 111 です。
代数的な無理数の無理数度は 222 です。
超越数の無理数度は 222 以上です。
リウビル数の無理数度は ∞\infty∞ です。→リウヴィル数の具体例と性質
参考：Wikipedia
鳩ノ巣原理や連分数展開など楽しい話題が詰まっています。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！