黄金進法の意味とおもしろい定理

黄金比 $\phi$ は $\phi^2=\phi+1$ を満たす。つまり黄金進数として $100$ と $011$ は等しい。

つまり「$1$ が連続するペアの中で最も左にあるものを $0$ にしてその左を $1$ にする」という操作を繰り返せば標準形になおせる。この操作により $1$ が $1$ つ減るので操作は有限回で終わる。

標準形として表せることの証明

上の例でほぼ証明になっている。厳密には帰納法。$k$ を標準形で表せると仮定すると，$k+1=k+\phi^0$ も標準形で表せる。実際

1. $k+\phi^0$ に必要なら繰り下げを何度か繰り返すことで黄金進数で表せる。（$k$ は標準形で表されているので $\phi^0$ でダブりが生じたら $\phi^{-1}$ でダブりが生じることは無い。$\phi^{-2}$ でもう一度ダブりが生じる可能性はあるが，その場合さらに繰り下げればよい）
2. さらに，黄金進数はさきほどの定理1で述べた操作により標準形に直せる

ただ1通りの方法で表せることの証明

2通りの標準形で同じ数が表せるなら， $$\phi^{a_1}+\phi^{a_2}+\cdots+\phi^{a_m}=\phi^{b_1}+\phi^{b_2}+\cdots+\phi^{b_n}$$ という等式が成立。ただし，$a_1>a_2>\cdots>a_m$，$b_1>b_2>\cdots>b_n$ とする。

$a_1=b_1$ であることを示す。もし $a_1>b_1$ ならどう頑張っても左辺が大きくなる：

• 左辺 $\geqq\phi^{a_1}$
• 右辺 $<\phi^{b_1}+\phi^{b_1-2}+\phi^{b_1-4}+\cdots=\dfrac{\phi^{b_1}}{1-\phi^{-2}}=\phi^{b_1+1}\leqq\phi^{a_1}$ （ただし，右辺の変形の1つめの等号で無限等比級数の公式を使った）

以下同様に $a_2=b_2, a_3=b_3,\dots$ が示せる。

• $\Rightarrow$ の証明
  $\phi^2=\phi+1$ を使って次数下げをすれば，$\phi^k\:(k\geq2)$ は $m\phi+n$ という形に直せる。同様に，$\phi^{-2}=1-\phi^{-1}$ を使って次数上げをすれば，$\phi^k\:(k\leq -1)$ も $m\phi+n$ という形に直せる。同様に，

• $\Leftarrow$ の証明
  $b=0$，つまり $r=a$ で $a$ が正のときに $r$ が有限黄金進数で表せることは，定理2そのもの。$a$ が $0$ のときは $r=\phi^0$，$a$ が負のときはマイナスの符号をつけるだけ。
  $b>0$ のときは，$r=a$ のときをもとに，$\phi$ を1つずつ追加していけば帰納的に $r=a+b\phi$ も有限黄金進数で表せることがわかる（定理2の証明とほぼ同じ）。$b<0$ のときも $b>0$ のときが有限黄金進数で表せるならそれにマイナスの符号をつければよい。