Gerretsen の不等式と「重心と内心の距離」

距離の二乗は常に非負なので $$GI^2 \geqq 0$$ より $$s^2 - 16Rr + 5r^2 \geqq 0$$ すなわち $$s^2 \geqq 16Rr - 5r^2$$

定理の左辺と右辺をそれぞれ辺の長さ $a,b,c$ で表して一致することを確認する。

まず右辺を考える。$S=\dfrac{abc}{4R}$ およびヘロンの公式を使うと， $$s=\frac{a+b+c}{2}$$ $$16Rr=\frac{4abc}{s}=\frac{8abc}{a+b+c}$$ $$r^2=\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}$$ より $$\begin{aligned} &s^2-16Rr+5r^2 \\&= \frac{(a+b+c)^2}{4} -\frac{8abc}{a+b+c} +\frac{10(s-a)(s-b)(s-c)}{a+b+c}\end{aligned}$$ ここで $$s-a=\frac{-a+b+c}{2}$$ などを使うと， $$10(s-a)(s-b)(s-c) \\= \frac{5}{4}(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$$ さらに，通分すると， $$s^2-16Rr+5r^2 \\= \frac{(a+b+c)^3-32abc+5\bigl((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\bigr)}{4(a+b+c)}$$ 分子を整理して $$\frac{ 2a^2b+2a^2c+2ab^2+2ac^2+2b^2c+2bc^2-a^3-b^3-c^3-9abc }{a+b+c}$$

次に左辺を計算する。まず， $$3GI^2=IA^2+IB^2+IC^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{3}$$ である（ベクトルで簡単に証明できる。例えば三角形の頂点からの距離の二乗の和は重心で最小になる参照）。よって， $$9GI^2=3(IA^2+IB^2+IC^2)-(a^2+b^2+c^2)$$

である。ここで頂点から五心までの距離公式より $$IA^2=\frac{bc(-a+b+c)}{a+b+c}$$ などから $$IA^2+IB^2+IC^2 \\= \frac{ bc(-a+b+c)+ca(a-b+c)+ab(a+b-c) }{a+b+c} \\ =\frac{ a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2-3abc }{a+b+c}$$

よって $9GI^2$ は

$$\frac{ 3(a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2-3abc) }{a+b+c} -(a^2+b^2+c^2)\\ =\frac{ 2a^2b+2a^2c+2ab^2+2ac^2+2b^2c+2bc^2-a^3-b^3-c^3-9abc }{a+b+c}$$

となり一致する。