環の基礎用語～素イデアル・極大イデアル～

整数環 $\mathbb{Z}$ は整域である。他にも $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ もまた整域である。

一般に体は整域である。体 $k$ の元 $x,y$ について $xy = 0$ であったとする。今 $x \neq 0$ であれば，辺々に $x^{-1}$ を掛けることで $y = 0$ を得る。

整域 $A$ の部分環 $B$ も整域である。

$x,y \in B$ が $xy=0$ を満たすとする。$x,y \in A$ でもあることと，$A$ の整域であることから $x$ または $y$ は $0$ になるためである。

一変数複素数変数多項式環 $\mathbb{C}[x]$ は整域である。他にも $\mathbb{Z}[x], \mathbb{Q}[x], \mathbb{R}[x]$ もまた整域である。

$6 \mathbb{Z}$ について考える。

$2,3 \notin 6\mathbb{Z}$ にも関わらず $2 \times 3 = 6 \in 6\mathbb{Z}$ であるため，$6\mathbb{Z}$ は素イデアルではない。

$A = \mathbb{R}[x]$ とおく。

$I = x^2+x+1$ は $A$ の素イデアルである。

実際，$x^2+x+1$ は実数の範囲ではこれ以上因数分解できないため， $$fg = h (x^2+x+1)$$ と表される場合，$f$ か $g$ は $x^2+x+1$ で割り切れる。すなわち $f$ か $g$ は $I$ の元になる。

$A = \mathbb{R}[x]$ とおく。

$I = x^2+x+1$ は $A$ の素イデアルではない。

実際， $$x^2+x+1 = \left( x - \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} \right)\left( x - \dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2} \right)$$ と因数分解されるため，$f = x - \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$，$g = x - \dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ とすると，$f,g \notin I$ だが $fg \in I$ になる。

アイゼンシュタインの判定法 から $x^3+3x^2+3x+6$ は既約になるため，$\langle x^3+3x^2+3x+6 \rangle$ は $\mathbb{Z} [x]$ の素イデアルである。

$A = \mathbb{C} [x,y]$ とおく。

• $I_1 = \langle x+y \rangle$ は $A$ の素イデアルである。
• $I_2 = \langle x,y \rangle$ は $A$ の素イデアルである。
• $I_3 = \langle xy \rangle$ は $A$ の素イデアルではない。

$2 + 6 \mathbb{Z}$ と $3 + 6 \mathbb{Z}$ の積を計算する。 $$\begin{aligned} &(2+6\mathbb{Z})(3+6\mathbb{Z})\\ &= 6+6\mathbb{Z}\\ &= 0 + 6\mathbb{Z} \end{aligned}$$ となる。

このように $0$（和の単位元）ではない2元の積が $0$ になる場合がある。

$\langle y^2-x^3 \rangle$ は $\mathbb{C}[x,y]$ の素イデアルである。

準同型 $\phi : \mathbb{C} [x,y] \to \mathbb{C}[t]$ を $\phi (x) = t^2 , \phi (y) = t^3$ により定めると $\ker \phi = \langle y^2-x^3 \rangle$，$\mathrm{Im} \ \phi = \mathbb{C} [t^2,t^3]$ であるため，準同型定理から $$\mathbb{C}[x,y] / \langle y^2-x^3 \rangle \simeq \mathbb{C} [t]$$ を得る。

$\mathbb{C}[t^2,t^3]$ は $\mathbb{C}[t]$ の部分環より整域である。よって $\mathbb{C}[x,y]/\langle y^2-x^3 \rangle$ も整域であるため，$\langle y^2 - x^3 \rangle$ は素イデアルである。

$A = \mathbb{Z}$ の極大イデアルは，素数 $p$ を用いて $p \mathbb{Z}$ と表される。

$m \notin p \mathbb{Z}$ を任意に取ったとき，$m$ は $p$ の任意の元と互いに素であるため，ある整数 $a,b$ により $am+bp=1$ とできる。よって，$p\mathbb{Z}$ を真に含むイデアルは $1$ を含むため $\mathbb{Z}$ そのものになる。

$A = \mathbb{C}[x,y]$ とする。

$\langle x \rangle$ は $\mathbb{C}[x,y]$ の素イデアルである。

しかし $\langle x \rangle \subset \langle x,y \rangle$ であるため極大イデアルではない。

$A = \mathbb{Z}$，$\mathfrak{m} = p\mathbb{Z}$ のとき $A/\mathfrak{m} = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} = \mathbb{F}_p$ である。

$A = \mathbb{C}[x]$，$\mathfrak{m} = \langle x \rangle$ のとき $A/I = \mathbb{C}$ である。

$\mathrm{Spec} \ \mathbb{Z} = \{ p \mathbb{Z} \mid p \ \text{は素数} \}$ である。

$\mathrm{Spec} \ \mathbb{C} [x] = \{ \langle f \rangle \mid f\ \text{は既約多項式} \}$ である。特に $\mathbb{C} [x]$ の既約多項式は $x - \alpha \ (\alpha \in \mathbb{C})$ と表されるため， $$\mathrm{Spec} \ \mathbb{C} [x] = \{ \langle x- \alpha \rangle \mid \alpha \in \mathbb{C} \}$$ と表される。

$\langle x-\alpha \rangle$ と $\alpha$ を同一視することで，位相空間 $\mathrm{Spec}\ \mathbb{C}[x]$ を $\mathbb{C}$ と見なすことができる。この場合，$V$ により定まる位相は，通常考える $\mathbb{C}$ の位相よりも弱い。