環の基礎用語～剰余環・準同型定理～

準備

環とは，大雑把にいうと足し算とかけ算ができるような代数系です。きちんとした定義は環の定義とその具体例を参照してください。
なお，リンク先の記事では，環を表す記号として RRR を用いていますが，この記事では AAA を用います。どちらを使うかは好みの問題です。
今回の記事では可換環のみ考え，可換環のことを単に環と呼びます。すなわち，x,y∈Ax,y \in Ax,y∈A に対して xy=yxxy = yxxy=yx であることを仮定します。
環には加法の単位元と乗法の単位元がありますが，複数の環が登場するとき単位元を区別するために，環 AAA の加法・乗法の単位元をそれぞれ 0A,1A0_A , 1_A0A​,1A​ と書くことがあります。
詳しくはこちらの記事をどうぞ
環の定義とその具体例
環の基礎用語～準同型・部分環・イデアル～

イデアルとその剰余環

復習にはなりますが，まずはイデアルの定義から説明します。

イデアル

環 $A$ の空でない部分集合 $I$ が次の条件を満たすとき， $I$ を $A$ のイデアルという。

任意の $x,y \in I$ に対して， $x+y \in I$ （すなわち， $I$ は加法に関して $A$ の部分群）
任意の $a \in A, x \in I$ に対して， $ax \in I$

例

$n \mathbb{Z}$ により $n$ の倍数全体の集合を表す。これは環 $\mathbb{Z}$ のイデアルになる。

例

$a \in A$ に対して $\{ \alpha a \mid \alpha \in A \}$ は $A$ のイデアルになる。これを $\langle a \rangle$ と書く。

さらに $a_1,a_2, \cdots ,a_n \in A$ に対して $\{ \alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2 + \cdots + \alpha_n a_n \mid \alpha_1 , \alpha_2, \cdots ,\alpha_n \in A \}$ は $A$ のイデアルになる。これを $\langle a_1,a_2, \cdots ,a_n \rangle$ と書く。特に $a_1 , a_2 , \cdots , a_n$ によって生成されるイデアルという。

例

加法の単位元 $0_A$ からのみなる集合 $\{ 0_A \}$ はイデアルになる。これをしばしば零イデアルという。

例

環 $A$ そのものももちろんイデアルである。

特に乗法の単位元 $1_A$ を含むイデアルは $A$ と一致する。

剰余環

環 $A$ とそのイデアル $I$ に対して， $a \sim a' \iff a - a' \in I$ による同値関係での商集合 $A/I$ は環の構造を持つ。

これを剰余環という。

以下， $a \in A$ の同値類を $a+I$ により表す。

和は $(a+I)+(b+I) = a+b+I$ 積は $(a+I) (b+I) = ab+I$ と定めるとよい。

このとき，和の単位元 $1_{A/I}$ は $1_A + I$ ，積の単位元 $0_{A/I}$ は $0_A + I$ になる。

well-defined であること

例えば，積については， $a \sim a'$ ， $b \sim b'$ となる数について $(a+I) (b+I) = (a'+I) (b'+I)$ であることを確認すればいい。

$a \sim a'$ より，ある $x \in I$ があって $a = a'+x$ となる。同じようにある $y \in I$ があって $b=b'+y$ となる。

$\begin{aligned} ab &= (a'+x)(b'+y)\\ &= a'b' + a'y+b'x+xy \end{aligned}$ であるが， $x,y \in I$ より $a'y+b'x+xy \in I$ となり $ab \sim a'b'$ である。

例

$A = \mathbb{Z}$ （整数の集合）， $I = 3 \mathbb{Z}$ （3の倍数の集合）としたとき，剰余環 $\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}$ であるが，代表元は $\{ 0+3\mathbb{Z},1+3\mathbb{Z},2+3\mathbb{Z} \}$ である。

和がどうなるかはそのままである。

積は $\begin{aligned} (2+3\mathbb{Z}) (2+3\mathbb{Z}) &= 1+3\mathbb{Z} \end{aligned}$ というように計算できる。

このように $A/I$ は $\mathrm{mod} \ I$ での演算である。

例

$A = \mathbb{R}[x]$ （実係数多項式環）， $I = \langle x^2+1 \rangle$ とする。

$x^2 = -1 \ (\mathrm{mod} \ x^2+1)$ より $\mathbb{R}[x]/ \langle x^2+1 \rangle$ の元は $a+b \bar{x}\ (a,b \in \mathbb{R})$ と書かれ，その和と積は $\begin{aligned} (a+b\bar{x})+(a'+b'\bar{x}) &= (a+a') + (b+b')\bar{x}\\ (a+b\bar{x})(a'+b'\bar{x}) &= (aa'-bb') + (ab'+a'b) \bar{x} \end{aligned}$ と計算される。

※ $\bar{x}$ で $x \ (\mathrm{mod} \ x^2+1)$ （ $x$ が代表元となる元）を表す。

よって， $\bar{x}$ を $\sqrt{-1}$ に対応させることで $\mathbb{R}[x]/ \langle x^2+1 \rangle$ と $\mathbb{C}$ は同型になる。

自然な準同型

定理

$A$ を環， $I$ をイデアルとする。写像 $\pi : A \to A/I$ を $a \mapsto a + I$ により定義する。これは準同型になる。

証明

和についてのみ確認する。（積については同様にできる）

$\begin{aligned} \pi (a+b) &= a+b +I\\ &= (a+I) + (b+I)\\ &= \pi (a) + \pi (b) \end{aligned}$

対応定理

剰余環のイデアルは元の環のイデアルの一部と対応します。

定理

$A$ を環， $I$ をそのイデアルとする。

$A/I$ のイデアルと $I$ を含む $A$ のイデアルは一対一に対応する。

$J$ を $I$ を含むイデアル， $\bar{J}$ を $A/I$ としたとき $\begin{aligned} \phi : J &\mapsto \pi (J)\\ \psi : \bar{J} &\mapsto \pi^{-1} (\bar{J}) \end{aligned}$ により対応が得られる。

証明

以下， $A/I$ のイデアルの集合を $\mathcal{I}$ ， $I$ を含む $A$ のイデアルを $\mathcal{J}$ により表す。まずは上の対応によって，実際に $\mathcal{I}$ から $\mathcal{J}$ （及びその逆）への写像になっているかどうか確認する。

$\mathcal{I}$ から $\mathcal{J}$

$\bar{J} \in \mathcal{I}$ を任意に取る。 $\pi^{-1} (\bar{J})$ がイデアルになることは環の基礎用語～準同型・部分環・イデアル～を参照すること。

$\pi^{-1} (\bar{J}) \in \mathcal{J}$ ，すなわち $I \subset \pi^{-1} (\bar{J})$ を示そう。

$x \in I$ を任意に取る。このとき $\pi (x) = 0_{A/I}$ である。任意のイデアルは零元を含むため $0_{A/I} \in \bar{J}$ である。よって $x \in \pi^{-1} (\bar{J})$ を得る。

こうして $\pi^{-1} (\bar{J})$ は $I$ を含むイデアルになる。

$\mathcal{J}$ から $\mathcal{I}$

$\pi (J)$ がイデアルであることを示せばよい。

$\bar{a} \in A/I$ ， $\bar{x},\bar{y} \in \pi (J)$ を任意に取る。このとき，ある $a \in A$ ， $x,y \in J$ があり， $\bar{a} = a+I$ ， $\bar{x} = x+I$ ， $\bar{y} = y+I$ と表される。

$(x+I)+(y+I) = x+y +I$ であるが， $x+y \in J$ であるため $(x+I)+(y+I) \in \pi (J)$ である。 $(a+I)(x+I) \in \pi (J)$ も同様に計算され， $\pi (J) \in \mathcal{I}$ が従う。

互いに逆写像であること

$\pi (\pi^{-1} (\bar{J})) = \bar{J}$ と $\pi^{-1} (\pi (J)) = J$ を示せばよい。

それぞれ同じように議論すればよいため， $\pi (\pi^{-1} (\bar{J})) = \bar{J}$ であることのみ示す。

$\pi(\pi^{-1} (\bar{J})) \subset \bar{J}$
$\bar{x} \in \pi (\pi^{-1} (\bar{J}))$ を任意に取る。このとき，ある $x \in \pi^{-1} (\bar{J})$ があって $\pi (x) = \bar{x}$ である。今， $x \in \pi^{-1} (\bar{J})$ より $\pi (x) \in \bar{J}$ ，つまり $\bar{x} \in \bar{J}$ である。よって $\pi(\pi^{-1} (\bar{J})) \subset \bar{J}$ である。
$\bar{J} \subset \pi(\pi^{-1} (\bar{J}))$
逆に $\bar{x} \in \bar{J}$ を任意に取る。このとき，ある $x \in A$ があって $\pi (x) = \bar{x}$ である。定義より $x \in \pi^{-1} (\bar{J})$ である。したがって $\pi (x) \in \pi (\pi^{-1} (\bar{J})$ ，つまり $\bar{x} \in \pi (\pi^{-1} (\bar{J}))$ である。よって $\bar{J} \subset \pi(\pi^{-1} (\bar{J}))$ である。

こうして $\pi (\pi^{-1} (\bar{J})) = \bar{J}$ を得る。

※ $\pi^{-1} (\bar{J})$ はあくまでも集合 $\{ x \in A \mid \pi (x) \in \bar{J} \}$ を意味するため $\pi (\pi^{-1} (J)) = (\pi \circ \pi^{-1}) (J) = J$ では証明になりません。

準同型定理

主張

剰余環の計算する際に1つ重要になるのが準同型定理です。

定理

$\phi : A \to B$ を群の準同型写像とすると，

$\mathrm{Im} \ \phi \simeq A / \ker \phi$

証明は群論の場合と同様に行えばいいです。 → 群の準同型と準同型定理

例

準同型定理により，前述した例を説明する。

$\phi : \mathbb{R} [x] \to \mathbb{C}$ を $\phi \left( \sum_{k=1}^n a_k x^k \right) = \sum_{k=1}^n a_k (\sqrt{-1})^k$ と定める。（つまり $x = \sqrt{-1}$ と代入する写像）これは準同型になる。（証明略）

$\phi$ は全射である。実際 $\phi (a+bx) = a+bi$ である。よって， $\mathrm{Im} \ \phi = \mathbb{C}$ である。

$\ker \phi$ を計算する。

$f \in \ker \phi$ を取る。 $0 = \phi (f) = f(\sqrt{-1})$ より，因数定理から $f$ は（複素数係数多項式として） $x-\sqrt{-1}$ で割り切れる。

$\displaystyle f = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k$ とおく。

$\begin{aligned} f(-\sqrt{-1}) &= \sum_{k=0}^n a_k (-\sqrt{-1})^k\\ &= \overline{\sum_{k=0}^n a_k (\sqrt{-1})^k}\\ &= \overline{f(\sqrt{-1})}\\ &= 0 \end{aligned}$ より，因数定理から $f$ は（複素数係数多項式として） $x + \sqrt{-1}$ で割り切れる。

以上2つを合わせると $f$ は $x^2+1$ で割り切れる。よって $f \in \langle x^2+1 \rangle$ である。逆もまた従うため $\ker \phi = \langle x^2+1 \rangle$ である。

こうして準同型定理から $\mathbb{R}[x]/ \langle x^2+1 \rangle \simeq \mathbb{C}$ である。

他にも例を紹介します。

例

$\mathbb{Z}[x]/ \langle x^2-2 \rangle \simeq \mathbb{Z} [\sqrt{2}]$

同型定理

準同型定理の系として同型定理があります。

その1

定理

$A$ を環とする。 $H$ を $B$ の部分環， $I$ を $A$ のイデアルとする。

このとき， $B+I$ は $A$ の部分環で， $B \cap I$ は $B$ のイデアルとなる。

さらに $(B+I)/I \simeq B/(B \cap I)$ となる。

これらの証明も群論の場合と同様に行います。 → 群の準同型と準同型定理

証明

B+IB+IB+I が部分環であること
B⊂AB \subset AB⊂A，I⊂AI \subset AI⊂A より B+I⊂AB+I \subset AB+I⊂A である。
次の3点を示せばよい。
加法について部分群である
積について閉じている
1A1_A1A​ を含む
加法については明らかである。
積について，b,b′∈Bb,b' \in Bb,b′∈B，x,x′∈Ix,x' \in Ix,x′∈I を任意に取ると
(b+x)(b′+x′)=bb′+bx′+b′x+xx′
(b+x)(b'+x') = bb' + bx'+b'x+xx'
(b+x)(b′+x′)=bb′+bx′+b′x+xx′
となるが，bb′∈Bbb' \in Bbb′∈B，bx′+b′x+xx′∈Ibx'+b'x+xx' \in Ibx′+b′x+xx′∈I より積に閉じることが分かる。
BBB は AAA の部分群であるため 1A∈B1_A \in B1A​∈B である。よって 1A=1A+0A∈B+I1_A = 1_A + 0_A \in B+I1A​=1A​+0A​∈B+I である。
こうして B+IB+IB+I は AAA の部分環であることがわかる。
B∩IB \cap IB∩I がイデアルであること
和に閉じることは明らかである。
b∈Bb \in Bb∈B，x∈B∩Ix \in B \cap Ix∈B∩I を任意にとる。環は積について閉じるため bx∈Bbx \in Bbx∈B である。一方 b∈B⊂Ab \in B \subset Ab∈B⊂A よりイデアルの性質から bx∈Ibx \in Ibx∈I である。
よって bx∈B∩Ibx \in B \cap Ibx∈B∩I である。
こうして B∩IB\cap IB∩I がイデアルになる。
同型であること
準同型 ϕ:B→(B+I)/I\phi : B \to (B+I)/Iϕ:B→(B+I)/I を
b↦b+I
b \mapsto b+I
b↦b+I
により定義する。（準同型になることの証明は簡単なので略）これは全射である。
核を計算する。
B∩I⊂ker⁡ϕB \cap I \subset \ker \phiB∩I⊂kerϕ は明らかである。
逆に b∈ker⁡ϕb \in \ker \phib∈kerϕを任意に取る。このとき b+I=0+Ib+I = 0+Ib+I=0+I であるため b∈Ib \in Ib∈I である。こうして b∈B∩Ib \in B \cap Ib∈B∩I となる。
準同型定理により B/(B∩I)≃(B+I)/IB / (B \cap I) \simeq (B+I)/IB/(B∩I)≃(B+I)/I を得る。

その2

定理

$A$ を群とする。 $I,J$ は $A$ のイデアルで $I \supset J$ とする。

このとき $I/J$ は $A/J$ のイデアルであって $(A/J)/(I/J) \simeq A/I$ となる。

前の定理と同様に証明ができます。

証明

I/JI/JI/J が A/IA/IA/I のイデアルであること
前述の対応定理から明らかである。
同型であること
準同型 ϕ:A/J→A/I\phi : A/J \to A/Iϕ:A/J→A/I を
a+J↦a+I
a + J \mapsto a+I
a+J↦a+I
により定義する。
J⊂IJ \subset IJ⊂I より代表元の取り方に寄らずに定義される。（※を参照）
準同型になることの証明は簡単なので略する。また，これは全射である。
核を計算する。
I/J⊂ker⁡ϕI/J \subset \ker \phiI/J⊂kerϕ は明らかである。
逆に xˉ∈ker⁡ϕ\bar{x} \in \ker \phixˉ∈kerϕを任意に取る。このとき xˉ=x+J\bar{x} = x+Jxˉ=x+J を満たす x∈Ax \in Ax∈A を1つ取る。
ϕ\phiϕ の定義から ϕ(xˉ)=x+I\phi (\bar{x}) = x+Iϕ(xˉ)=x+I であり，x+J∈ker⁡ϕx+J \in \ker \phix+J∈kerϕ から x+I=0+Ix+I = 0+Ix+I=0+I である。よって x∈Ix \in Ix∈I である。こうして xˉ∈I∩J\bar{x} \in I \cap Jxˉ∈I∩J となる。
準同型定理により (A/J)/(I/J)≃A/I(A/J)/(I/J) \simeq A/I(A/J)/(I/J)≃A/I を得る。

              ※ 補足～ well-defined について
            
well-defined については，他の記事で説明している概念だが，ここではじめて知った人のために補足します。既に知っている方は読み飛ばしてください。
A/JA/JA/J の元 aˉ\bar{a}aˉ は，ある a∈Aa \in Aa∈A によって aˉ=a+J\bar{a} = a+Jaˉ=a+J と書くことができます。上では暗にこのことを用いて ϕ\phiϕ を定義しています。
剰余環において，aˉ=a′+J\bar{a} = a'+Jaˉ=a′+J という異なる表示（異なる代表元による表示）が存在しえます。
ϕ\phiϕ が写像であるためには，どちらの表示を用いて ϕ(aˉ)\phi (\bar{a})ϕ(aˉ) を計算しても問題ない必要があるのです。これは
a+I=a′+I
a+I = a' +I
a+I=a′+I
が必要ということになります。
この要請は a,a′∈Ja,a' \in Ja,a′∈J より a−a′∈J⊂Ia-a' \in J \subset Ia−a′∈J⊂I であることから従います。
上記をまとめて「J⊂IJ \subset IJ⊂I より代表元の取り方に寄らずに定義される」と表現しているのです。
このように写像がキチンと定義されていることを well-defined であるといいます。

今後の展望

次の記事では素イデアルや極大イデアルといった特殊な性質を持つイデアルを紹介していきます。

準同型定理は各代数系で成立します。