ナッシュ均衡

まず，用語のざっくりとした意味を説明します。

• ゲームとは，各プレイヤーがとる戦略を決めたときに，誰がどれくらい利益を得るかが定まるようなものです。
• 非協力ゲームとは，プレイヤー間の（ルールに基づいた）連携がないようなゲームのことです。例えばレースゲームのチーム戦はルール上の連携なので協力ゲームですが，個人戦は（一時的な協力があったとしてもルール上のものではないので）非協力ゲームです。

（これらはゲーム理論という分野で使われる用語です。）

次に，ナッシュ均衡の定義です。

つまり，自分だけが戦略を変えても得をしない状況がナッシュ均衡です。ナッシュ均衡は，ゲームの「解」，つまり現実にそのゲームをプレイしたときにプレイヤーがどういう行動をとるかの予測を与える方法のひとつです。

ちなみに「ナッシュ均衡」という名前は（以下のナッシュ均衡の存在定理を証明した）数学者のジョン・ナッシュに由来します。

ナッシュ均衡を理解するためによく使われるのは，囚人のジレンマです。

ナッシュ均衡は複数あったり，1つもなかったりします。

囚人のジレンマでは一見（黙秘，黙秘）がいいように思えますが，ナッシュ均衡という観点では（自白，自白）のみが解になります。一方，この（黙秘，黙秘）のような状況は，経済学の分野でパレート効率的（Pareto efficient）と呼ばれます。

ナッシュ均衡は各プレイヤーにとっては合理的な選択かもしれませんが，必ずしもパレート効率的にはなりません。囚人のジレンマにおける（自白，自白）では，（黙秘，黙秘）に変えることで誰も損をせずに利益を得ることができるので，パレート効率的ではありません。

このように，各個人が合理的な選択をしても必ずしも全体の利益を最大化するわけではない，と言えます。

ここまで見てきたように，ナッシュ均衡とは合理的な選択のもと実現する均衡状態のようなものですが，存在しない場合もあります（具体例のじゃんけんなど）。

しかし，適切な仮定の元では必ず存在することが知られています。

混合戦略とは，複数の戦略を確率的に混ぜ合わせたような戦略のことです。例えばじゃんけんでは，「グー，チョキ，パーをそれぞれ確率$1/3$で出す」というような戦略が混合戦略です。また有限ゲームとは，プレイヤーと戦略の数が有限であるようなゲームのことです。

この定理の証明には不動点定理（適切な条件を満たす関数・写像には必ず不動点が存在する，というタイプの定理）を使います。「各プレイヤーの戦略をより得をする方向へ更新する」写像に対して不動点定理を適用することで，得られた不動点がナッシュ均衡になっているという流れです。