【解答・解説】東大理系数学2026 第5問

複素数 $z$ は実数 $t$ を用いて $z = \cos t + i \sin t$ と表される。

$z- \alpha$ の偏角を $\varphi$ とおくと $\theta = 3 \varphi$ である。よって $$\sin 3\theta = - 4 \sin^3 \varphi + 3\sin \varphi$$ と表される。

$z-\alpha = z + 3$ の軌跡は中心 $3$，半径 $1$ の円である。下図より $$-\dfrac{1}{3} \leqq \sin \varphi \leqq \dfrac{1}{3}$$ である。よって， $$f(x) = - 4x^3 + 3x$$ とおくとき，$- \dfrac{1}{3} \leqq x \leqq \dfrac{1}{3}$ の範囲で $f(x)$ のとる値を求めればよい。

$f'(x) = -12x^2 + 3 = -3(2x+1)(2x-1)$ であるため，増減表は $$\begin{array}{c|ccc} x & -\frac{1}{3} & \cdots & \frac{1}{3}\\ \hline f'(x) & + & + & + \\ f(x) & \nearrow & \nearrow & \nearrow \end{array}$$ である。

よって，$f(x)$ の最大値は $f\left( \dfrac{1}{3} \right) = \dfrac{23}{27}$，最小値は $f \left( -\dfrac{1}{3} \right) = - \dfrac{23}{27}$ となる。

こうして $$-\dfrac{23}{27} \leqq \sin \theta \leqq \dfrac{23}{27}$$ である。

$w = (z-\alpha)^3$ が正の実数になるとき，$z - \alpha$ の偏角は $0 , \ \dfrac{2}{3} \pi , \ \dfrac{4}{3} \pi$ になる。一方，$w = (z-\alpha)^3$ が負の実数になるとき，$z - \alpha$ の偏角は $\dfrac{1}{3} \pi , \ \pi , \ \dfrac{5}{3} \pi$ になる。

点 $z-\alpha$ の軌跡を $C_{\alpha}$ とおく。$C_{\alpha}$ は，中心 $-\alpha$ 半径 $1$ の円周である。

$n = 0,\ 1,\ \cdots,\ 5$ に対して，原点を始点として偏角 $\dfrac{n}{3}\pi$ の複素数からなる半直線を $\ell_n$ により表す。

このとき，求める条件は次の2つにより表される。

• $C_{\alpha}$ は $\ell_0,\ \ell_2,\ \ell_4$ のいずれかと交わる。
• $C_{\alpha}$ は $\ell_1,\ \ell_3,\ \ell_5$ のいずれかと交わる。

$C_{\alpha}$ は中心 $-\alpha$ 半径 $1$ の円であるため，$C_{\alpha}$ と $\ell_0$ が交わる $\alpha$ の条件は，$-\alpha$ と $\ell_0$ の距離が $1$ 以下であることとなる。よって，範囲は $$\begin{aligned} &\begin{cases} |\alpha|=1 &(\mathrm{Re}\ (-\alpha) < 0)\\ -1 < \mathrm{Im}\ (-\alpha) < 1 & (\mathrm{Re}\ (-\alpha) \geqq 0) \end{cases}\\ \iff &\begin{cases} |\alpha|=1 &(\mathrm{Re}\ (\alpha) > 0)\\ -1 < \mathrm{Im}\ (\alpha) < 1 & (\mathrm{Re}\ (\alpha) \leqq 0) \end{cases} \end{aligned}$$ である。よって，軌跡は下図のようになる。

※ $-1$ 倍する過程で向きが逆になって見えることに注意

同様に考えることで $C_{\alpha}$ と $\ell_n$ が交わるとき，$\alpha$ の動く範囲は，上図の領域を $\dfrac{n}{3} \pi$ 回転させた領域であることが分かる。

よって，$C_{\alpha}$ は $\ell_0,\ \ell_2,\ \ell_4$ のいずれかと交わるとき，$\alpha$ の動く範囲は下図のようになる。

同様に $C_{\alpha}$ は $\ell_1,\ \ell_3,\ \ell_5$ のいずれかと交わるとき，$\alpha$ の動く範囲は下図のようになる。

これらの共通部分の面積を求めればよい。共通部分は下図のようになる。

この領域は図のように1辺 $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ の正三角形を12個並べたものであるため，面積は $$\dfrac{\sqrt{3}}{4} \times \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 \times 12 = 4\sqrt{3}$$ である。