【解答・解説】東大理系数学2026 第6問

$2800 = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 7$ である。よって約数の個数は $5 \times 3 \times 2 = 30$ 個である。

$2, \ 5$ は $3$ で割って $2$ 余り，$7$ は $3$ で割って $1$ 余る。

$3$ で割って $2$ 余る数同士を掛けた数を再び $3$ で割ると余りは $1$ である。 よって，$2800$ の約数のうち $3$ で割って $1$ 余る数を素因数分解すると次の2パターンになる。

• $2, \ 5$ の指数がどちらも偶数，$7$ の指数は自由
• $2, \ 5$ の指数がどちらも奇数，$7$ の指数は自由

それぞれ数えると

• $2,\ 5$ の指数がどちらも偶数：$2$ の指数としてあり得るのは $0, \ 2,\ 4$，$5$ の指数としてあり得るのは $0, \ 2$ であるため，$3 \times 2 \times 2 = 12$ 通り．
• $2,\ 5$ の指数がどちらも奇数：$2$ の指数としてあり得るのは $1, \ 3$，$5$ の指数としてあり得るのは $1$ であるため，$2 \times 1 \times 2 = 4$ 通り．

よって，$f(2800) = 16$ である。

$2800$ は3の倍数ではないため，すべての約数は $3$ で割って $1$ 余るか $2$ 余るかのどちらかになる。ゆえに $g(2800) = 30- f(2800) = 14$ である。

• $g(n) = 0$ のとき

$1$ は $n$ の約数であって $3$ で割って $1$ 余る数であるため，$f(n) \geqq 1$ より $f(n) > g(n)$ である。

• $g(n) = N > 0$ のとき

$3$ で割って $1$ 余る数同士を掛けたとき，その数を $3$ で割った余りは $1$ である。よって，$n$ の素因数には $3$ で割って $2$ 余るものが必ず存在する。それらを $p_1, \ p_2, \ \cdots , \ p_k$ とおく。

このとき素因数分解すると $$n = {p_1}^{a_1} \cdot {p_2}^{a_2} \cdot \cdots \cdot {p_k}^{a_k} \cdot 3^A \cdot (\text{残り})$$ となるよう正整数 $a_1, \ a_2, \ \cdots , a_k$ をおく。

$n$ の約数 $m$ を素因数分解すると $$m = {p_1}^{b_1} \cdot {p_2}^{b_2} \cdot \cdots \cdot {p_k}^{b_k} \cdot (\text{残り})$$ と表されたとする。

$b_1+b_2+ \cdots + b_k$ が偶数のとき $m$ を $3$ で割った余りが $1$ になり，$b_1+b_2+ \cdots + b_k$ が奇数のとき $m$ を $3$ で割った余りが $2$ になる。

• $a_1, \ a_2, \ \cdots , a_k$ のなかに奇数が存在する場合

奇数であるものを $a_l$ とおく。 $h(m)$ を $$h(m) = \begin{cases} p_l m &(a_l > b_l)\\ {p_l}^{-b_l} m &(a_l = b_l) \end{cases}$$ と定める。

このとき，$m$ を $3$ で割った余りが $2$ であるとき，$h(m)$ を $3$ で割った余りは $1$ である。実際に示す。

• $a_l > b_l$ の場合：$3$ で割って $2$ 余る数同士を掛けているため，$h(m)$ を $3$ で割った余りは $1$ になる。

• $a_l = b_l$ の場合：$h(m)$ を素因数分解すると $${p_1}^{b_1} \cdot {p_2}^{b_2} \cdot \cdots \cdot {p_{l-1}}^{b_{l-1}} \cdot {p_{l+1}}^{b_{l+1}} \cdot \cdots \cdot {p_k}^{b_k} \cdot (\text{残り})$$ となる。 前述した通り，$b_1+b_2+ \cdots + b_k$ は奇数である。また，$b_l = a_l$ が奇数であるため，$h(m)$ の（$3$ で割って $2$ 余る素因数の）指数を足した $b_1+b_2+ \cdots + b_{l-1} + b_{l+1} + \cdots + b_k$ は偶数になる。よって $h(m)$ は $3$ で割って $1$ 余る。

以上より示された。 同様の議論により，逆に $m$ を $3$ で割った余りが $1$ であるとき，$h(m)$ を $3$ で割った余りは $2$ であることも分かる。

$m_1, \ m_2$ は $n$ の約数とする。 $h(m_1) = h(m_2)$ のとき $m_1 = m_2$ である。 実際，$h(m_1) = h(m_2)$ が $p_l$ で割り切れる場合，定義より $$m_1 = \dfrac{h(m_1)}{p_l}，\ m_2 = \dfrac{h(m_2)}{p_l}$$ である。よって，$m_1 = m_2$ である。 また，$h(m_1) = h(m_2)$ が $p_l$ で割り切れない場合，定義より $$m_1 = {p_l}^{a_l} h(m_1)，\ m_2 = {p_l}^{a_l} h(m_2)$$ である。よって，このときも $m_1 = m_2$ である。

$$\ast\ast\ast$$

$n$ の約数のうち，$3$ で割ると $2$ 余るものを小さい順に $m_1, \ m_2, \ \cdots , \ m_N$ とおくと， $$h(m_1) , \ h(m_2) , \ \cdots ,\ h(m_N)$$ は相異なる $n$ の約数であって，$3$ で割ると $1$ 余る数である。 この他にも $3$ で割って $1$ 余る $n$ の約数は存在し得るため，$f(n) \geqq N =g(n)$ を得る。

また，逆に考えることで $g(n) \geqq f(n)$ を示すこともでき，このとき $f(n) = g(n)$ を得る。

• $a_1, \ a_2, \ \cdots , a_k$ がすべて偶数の場合

$m$ は $3$ で割って $2$ 余る $n$ の約数とする。

$h(m)$ を次のように定める。

• $a_1 > b_1$ のとき $$h(m) = p_1 m$$
• $a_1 = b_1$ のとき $$h(m) = p_1^{-b_1} p_l m$$ ただし，$p_l$ は，$p_1, \ p_2, \ \cdots , \ p_k$ のうち，指数 $b_l$ が奇数になる最小の素数とする。なお，$b_1 = a_1$ は偶数であって，$b_1 + b_2 + \cdots + b_k$ が奇数であるため，$b_2,\ b_3, \cdots, \ b_k$ のなかに必ず奇数が存在する。

このとき，同様に議論することで

• $h(m)$ を $3$ で割ると $1$ 余る
• $h(m_1) = h(m_2)$ の場合，$m_1 = m_2$ である（ただし，$m_1, \ m_2$ は $3$ で割って $2$ 余る $n$ の約数）

であることが示される。ゆえに同じく議論して $g(n) \leqq f(n)$ を得る。

(2) 同様に $n$ の素因数のうち $3$ で割って $2$ 余るものを $p_1, \ p_2, \ \cdots , \ p_k$ とおく。

$$n = {p_1}^{a_1} \cdot {p_2}^{a_2} \cdot \cdots \cdot {p_k}^{a_k} \cdot 3^A \cdot n'$$ となるよう正整数 $a_1, \ a_2, \ \cdots , a_k$ をおく。 なお，ここで $n'$ は $p_1, \ p_2, \ \cdots , \ p_k$ 及び $3$ と互いに素な正整数である。

$n'$ の素因数はすべて $3$ で割って $1$ 余ることに注意すると $$g(n) = g({p_1}^{a_1} \cdot {p_2}^{a_2} \cdot \cdots \cdot {p_k}^{a_k}) \times d(n')$$ である。

• $a_1, \ a_2,\ \cdots , \ a_k$ のなかに奇数があるとき

(2) の議論から $$g({p_1}^{a_1} \cdot {p_2}^{a_2} \cdot \cdots \cdot {p_k}^{a_k}) = f({p_1}^{a_1} \cdot {p_2}^{a_2} \cdot \cdots \cdot {p_k}^{a_k})$$ であるため，$f(n) = g(n) = 15$ となる。

• $a_1, \ a_2,\ \cdots , \ a_k$ がすべて偶数の場合

(2) の $h$ の定義より $h(m)$ の $p_1, \ p_2,\ \cdots, \ p_k$ の指数がどれも $0$ になることはない。よって $$S_1 = \{ h(m) \mid m \ \text{は} \ 3 \ \text{で割って} \ 2 \ \text{余る} \ n \ \text{の約数} \}\\ S_2 = \{ m \mid m \ \text{は} \ 3 \ \text{で割って} \ 1 \ \text{余る} \ n \ \text{の約数} \}$$ とすると $$S_1 \cup \{ m \mid n' \ \text{の約数} \} = S_2$$ となる。

元の個数を比較することで $$g(n) + d(n') = f(n)$$ となる。

$d(n')$ は $g(n)$ の約数であるため，$1,\ 3,\ 5,\ 15$ のいずれかである。よって $f(n) = 16,\ 18,\ 20, \ 30$ をとり得る。

以上より，解答は $15,\ 16,\ 18,\ 20,\ 30$ である。