【解答・解説】東大理系数学2026 第6問

更新 2026/02/26

東大理系数学2026 第6問

$n$ を正の整数とする。 $n$ の正の約数のうち， $3$ で割って $1$ 余るものの個数を $f(n)$ ， $3$ で割って $2$ 余るものの個数を $g(n)$ とする。

$f(2800),\ g(2800)$ を求めよ。
$f(n) \geqq g(n)$ を示せ。
$g(n)=15$ であるとき， $f(n)$ がとりうる値を求めよ。

この記事では東大理系数学2026 第6問を解説します。非常に難しいものの，たいへん興味深い問題です。一緒に味わいましょう。

解答・解説

正整数 $n$ に対して $n$ の約数の個数を $d(n)$ で表す。

(1)

約数を考えるときはまず素因数分解です。

素因数ごとに $3$ で割った余りを考えることで計算を進めましょう。今回は $2800$ が $3$ で割り切れないため， $f(2800) + g(2800) = d(2800)$ です。そのため $f$ と $g$ の片方だけ計算すればOKです。

(1)

$2800 = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 7$ である。よって約数の個数は $5 \times 3 \times 2 = 30$ 個である。

$2, \ 5$ は $3$ で割って $2$ 余り， $7$ は $3$ で割って $1$ 余る。

$3$ で割って $2$ 余る数同士を掛けた数を再び $3$ で割ると余りは $1$ である。よって， $2800$ の約数のうち $3$ で割って $1$ 余る数を素因数分解すると次の2パターンになる。

$2, \ 5$ の指数がどちらも偶数， $7$ の指数は自由
$2, \ 5$ の指数がどちらも奇数， $7$ の指数は自由

それぞれ数えると

$2,\ 5$ の指数がどちらも偶数： $2$ の指数としてあり得るのは $0, \ 2,\ 4$ ， $5$ の指数としてあり得るのは $0, \ 2$ であるため， $3 \times 2 \times 2 = 12$ 通り．
$2,\ 5$ の指数がどちらも奇数： $2$ の指数としてあり得るのは $1, \ 3$ ， $5$ の指数としてあり得るのは $1$ であるため， $2 \times 1 \times 2 = 4$ 通り．

よって， $f(2800) = 16$ である。

$2800$ は3の倍数ではないため，すべての約数は $3$ で割って $1$ 余るか $2$ 余るかのどちらかになる。ゆえに $g(2800) = 30- f(2800) = 14$ である。

(2)

非常に難しいです。

まず 3で割って2余る素因数の指数をすべて足したとき，偶数であれば3で割ったとき1余る ことを押さえておきましょう。

例を考えてみましょう。 $2^3 \cdot 5^2$ の約数を並べてみます。 $\begin{array}{cccc} 1 & 2^1 & 2^2 & 2^3\\ 5^1 & 2^1 \cdot 5^1 & 2^2 \cdot 5^1 & 2^3 \cdot 5^1\\ 5^2 & 2^1 \cdot 5^2 & 2^2 \cdot 5^2 & 2^3 \cdot 5^2\\ \end{array}$

このうち $3$ で割って $2$ 余るものだけを取り出すとこのようになります。 $\begin{array}{cccc} & 2^1 & & 2^3\\ 5^1 & & 2^2 \cdot 5^1 &\\ & 2^1 \cdot 5^2 & & 2^3 \cdot 5^2\\ \end{array}$ この表から全体を右にずらす（これ以上右にいけない場合は一周させる）と， $3$ で割って $2$ 余る数は， $3$ で割って $1$ 余る数になります。しかも同じ数に移る数はありませんので， $3$ で割って $2$ 余る数に対応する $3$ で割って $1$ 余る数が必ず1つ存在することが分かり， $g(n) \leqq f(n)$ であることが分かります。

逆にずらすこともできるので，この場合は $f(n) =g(n)$ となります。

一方， $2^4 \cdot 5^2$ の場合はどうでしょうか？約数は $\begin{array}{ccccc} 1 & 2^1 & 2^2 & 2^3 & 2^4\\ 5^1 & 2^1 \cdot 5^1 & 2^2 \cdot 5^1 & 2^3 \cdot 5^1 & 2^4 \cdot 5^1\\ 5^2 & 2^1 \cdot 5^2 & 2^2 \cdot 5^2 & 2^3 \cdot 5^2 & 2^4 \cdot 5^2\\ \end{array}$ で，特に $3$ で割って $2$ 余るものは次のようになります。 $\begin{array}{ccccc} & 2^1 & & 2^3 &\\ 5^1 & & 2^2 \cdot 5^1 & & 2^4 \cdot 5^1\\ & 2^1 \cdot 5^2 & & 2^3 \cdot 5^2 &\\ \end{array}$ 同じように右にずらしても $2^4 \cdot 5^1$ が $5^1$ にぶつかってうまくいきませんね。

この違いは $2$ の指数が奇数であったことにあります。前回，これ以上右に行けない場合に一周させると， $2$ の指数が $3$ から $0$ に変わり，指数の偶奇が変わっていました。今回は， $2$ の指数は $4$ から $0$ に変わります。これでは偶数→偶数のままで， $3$ で割った余りは変わりません。

一見すると行き詰まったように見えますが，今回は， $2^3$ が $2^4$ に移ることで $5^2$ が空席のままです。そのため， $2^4 \cdot 5^1$ は $1$ に移ってもらうことにすると，前のとき同様に $g(n) \leqq f(n)$ だと言えそうです。

それでもなお $0$ は空席のままですから， $n = 2^4 \cdot 5^2$ の場合は $f(n) = g(n) + 1$ となります。

$n$ の約数のうち $3$ で割って $1$ 余る素因数の積を $n'$ とおくと，空席として $1$ の他に $n'$ の約数も現れます。そのため $f(n) = g(n) + d(n')$ となりますね。実際に (1) の場合を考えると $n' = 7$ で $d(n') = 2$ ですから $f(2800) = 16 = 14+2 = g(2800) + d(7)$ となっています。

$\ast\ast\ast$

上の観察を議論に落とし込むためには， $3$ で割って $2$ 余る素因数が必要です。そのため，そうではないケース，つまり $g(n) = 0$ という場合を考えておきましょう。

(2) ステップ1

$g(n) = 0$ のとき

$1$ は $n$ の約数であって $3$ で割って $1$ 余る数であるため， $f(n) \geqq 1$ より $f(n) > g(n)$ である。

それではさきほどの観察を厳密に示します。

まずは指数が奇数である数が存在する場合を議論します。

(2) ステップ2-1

$g(n) = N > 0$ のとき

$3$ で割って $1$ 余る数同士を掛けたとき，その数を $3$ で割った余りは $1$ である。よって， $n$ の素因数には $3$ で割って $2$ 余るものが必ず存在する。それらを $p_1, \ p_2, \ \cdots , \ p_k$ とおく。

このとき素因数分解すると $n = {p_1}^{a_1} \cdot {p_2}^{a_2} \cdot \cdots \cdot {p_k}^{a_k} \cdot 3^A \cdot (\text{残り})$ となるよう正整数 $a_1, \ a_2, \ \cdots , a_k$ をおく。

$n$ の約数 $m$ を素因数分解すると $m = {p_1}^{b_1} \cdot {p_2}^{b_2} \cdot \cdots \cdot {p_k}^{b_k} \cdot (\text{残り})$ と表されたとする。

$b_1+b_2+ \cdots + b_k$ が偶数のとき $m$ を $3$ で割った余りが $1$ になり， $b_1+b_2+ \cdots + b_k$ が奇数のとき $m$ を $3$ で割った余りが $2$ になる。

$a_1, \ a_2, \ \cdots , a_k$ のなかに奇数が存在する場合

奇数であるものを $a_l$ とおく。 $h(m)$ を $h(m) = \begin{cases} p_l m &(a_l > b_l)\\ {p_l}^{-b_l} m &(a_l = b_l) \end{cases}$ と定める。

このとき， $m$ を $3$ で割った余りが $2$ であるとき， $h(m)$ を $3$ で割った余りは $1$ である。実際に示す。

$a_l > b_l$ の場合： $3$ で割って $2$ 余る数同士を掛けているため， $h(m)$ を $3$ で割った余りは $1$ になる。
$a_l = b_l$ の場合： $h(m)$ を素因数分解すると ${p_1}^{b_1} \cdot {p_2}^{b_2} \cdot \cdots \cdot {p_{l-1}}^{b_{l-1}} \cdot {p_{l+1}}^{b_{l+1}} \cdot \cdots \cdot {p_k}^{b_k} \cdot (\text{残り})$ となる。前述した通り， $b_1+b_2+ \cdots + b_k$ は奇数である。また， $b_l = a_l$ が奇数であるため， $h(m)$ の（ $3$ で割って $2$ 余る素因数の）指数を足した $b_1+b_2+ \cdots + b_{l-1} + b_{l+1} + \cdots + b_k$ は偶数になる。よって $h(m)$ は $3$ で割って $1$ 余る。

以上より示された。同様の議論により，逆に $m$ を $3$ で割った余りが $1$ であるとき， $h(m)$ を $3$ で割った余りは $2$ であることも分かる。

$m_1, \ m_2$ は $n$ の約数とする。 $h(m_1) = h(m_2)$ のとき $m_1 = m_2$ である。実際， $h(m_1) = h(m_2)$ が $p_l$ で割り切れる場合，定義より $m_1 = \dfrac{h(m_1)}{p_l}，\ m_2 = \dfrac{h(m_2)}{p_l}$ である。よって， $m_1 = m_2$ である。また， $h(m_1) = h(m_2)$ が $p_l$ で割り切れない場合，定義より $m_1 = {p_l}^{a_l} h(m_1)，\ m_2 = {p_l}^{a_l} h(m_2)$ である。よって，このときも $m_1 = m_2$ である。

$\ast\ast\ast$

$n$ の約数のうち， $3$ で割ると $2$ 余るものを小さい順に $m_1, \ m_2, \ \cdots , \ m_N$ とおくと， $h(m_1) , \ h(m_2) , \ \cdots ,\ h(m_N)$ は相異なる $n$ の約数であって， $3$ で割ると $1$ 余る数である。この他にも $3$ で割って $1$ 余る $n$ の約数は存在し得るため， $f(n) \geqq N =g(n)$ を得る。

また，逆に考えることで $g(n) \geqq f(n)$ を示すこともでき，このとき $f(n) = g(n)$ を得る。

最後に指数がすべて偶数のときを議論します。

(2) ステップ2-2

$a_1, \ a_2, \ \cdots , a_k$ がすべて偶数の場合

$m$ は $3$ で割って $2$ 余る $n$ の約数とする。

$h(m)$ を次のように定める。

$a_1 > b_1$ のとき $h(m) = p_1 m$
$a_1 = b_1$ のとき $h(m) = p_1^{-b_1} p_l m$ ただし， $p_l$ は， $p_1, \ p_2, \ \cdots , \ p_k$ のうち，指数 $b_l$ が奇数になる最小の素数とする。なお， $b_1 = a_1$ は偶数であって， $b_1 + b_2 + \cdots + b_k$ が奇数であるため， $b_2,\ b_3, \cdots, \ b_k$ のなかに必ず奇数が存在する。

このとき，同様に議論することで

$h(m)$ を $3$ で割ると $1$ 余る
$h(m_1) = h(m_2)$ の場合， $m_1 = m_2$ である（ただし， $m_1, \ m_2$ は $3$ で割って $2$ 余る $n$ の約数）

であることが示される。ゆえに同じく議論して $g(n) \leqq f(n)$ を得る。

(3)

$3$ で割って $1$ 余る素因数が関わるかどうかで場合分けをしましょう。

(3)

(2) 同様に $n$ の素因数のうち $3$ で割って $2$ 余るものを $p_1, \ p_2, \ \cdots , \ p_k$ とおく。

$n = {p_1}^{a_1} \cdot {p_2}^{a_2} \cdot \cdots \cdot {p_k}^{a_k} \cdot 3^A \cdot n'$ となるよう正整数 $a_1, \ a_2, \ \cdots , a_k$ をおく。なお，ここで $n'$ は $p_1, \ p_2, \ \cdots , \ p_k$ 及び $3$ と互いに素な正整数である。

$n'$ の素因数はすべて $3$ で割って $1$ 余ることに注意すると $g(n) = g({p_1}^{a_1} \cdot {p_2}^{a_2} \cdot \cdots \cdot {p_k}^{a_k}) \times d(n')$ である。

$a_1, \ a_2,\ \cdots , \ a_k$ のなかに奇数があるとき

(2) の議論から $g({p_1}^{a_1} \cdot {p_2}^{a_2} \cdot \cdots \cdot {p_k}^{a_k}) = f({p_1}^{a_1} \cdot {p_2}^{a_2} \cdot \cdots \cdot {p_k}^{a_k})$ であるため， $f(n) = g(n) = 15$ となる。

$a_1, \ a_2,\ \cdots , \ a_k$ がすべて偶数の場合

(2) の $h$ の定義より $h(m)$ の $p_1, \ p_2,\ \cdots, \ p_k$ の指数がどれも $0$ になることはない。よって $S_1 = \{ h(m) \mid m \ \text{は} \ 3 \ \text{で割って} \ 2 \ \text{余る} \ n \ \text{の約数} \}\\ S_2 = \{ m \mid m \ \text{は} \ 3 \ \text{で割って} \ 1 \ \text{余る} \ n \ \text{の約数} \}$ とすると $S_1 \cup \{ m \mid n' \ \text{の約数} \} = S_2$ となる。

元の個数を比較することで $g(n) + d(n') = f(n)$ となる。

$d(n')$ は $g(n)$ の約数であるため， $1,\ 3,\ 5,\ 15$ のいずれかである。よって $f(n) = 16,\ 18,\ 20, \ 30$ をとり得る。

以上より，解答は $15,\ 16,\ 18,\ 20,\ 30$ である。

近年稀にみる難問でした。