【解答・解説】東大理系数学2026 第2問

3点を $\mathrm{A}_1 (x_1, \ y_1)$，$\mathrm{A}_2 (x_2, \ y_2)$，$\mathrm{A}_3 (x_3, \ y_3)$ とおく。ただし $x_1 \leqq x_2 \leqq x_3$ とする。

3点の取り方は全部で ${}_{15} \mathrm{C}_3$ である。

以下，余事象を考えるために3点が三角形の3頂点とならない組み合わせを求める。

• $x_1 = x_2 = x_3$ のとき
  $x_1$ の選びかたは $3$ 通り，$y_1, \ y_2, \ y_3$ の選び方は ${}_5 \mathrm{C}_3 = 10$ 通りで，合計 $30$ 通り。

• $x_1,\ x_2,\ x_3$ のうち2個が一致し，残りが一致しない場合
  この場合，常に3点は三角形をなすため $0$ 通り。

• $x_1,\ x_2, \ x_3$ がすべて異なるとき
  $x_1 \leqq x_2 \leqq x_3$ と定めていたため， $$x_1 = 1, \ x_2 = 2,\ x_3 = 3$$ となる。このとき，整数 $k$ により $\mathrm{A}_1 (1,\ y_1)$，$\mathrm{A}_2 (2,\ y_1 + k)$，$\mathrm{A}_3 (3,\ y_1+2k)$ と表される。 $$1 \leqq y_1 \leqq 5,\ 1 \leqq y_1 + 2k \leqq 5$$ であるため，これを満たす $(y_1, \ k)$ は $$\begin{aligned} &(y_1, \ a)\\ = \ &(1,\ 0),\ (1,\ 1),\ (1,\ 2),\\ &(2,\ 0),\ (2,\ 1),\\ &(3, -1),\ (3,\ 0),\ (3,\ 1),\\ &(4,-1), \ (4, \ 0)\\ &(5,-1),\ (5,-2),\ (5,\ 0) \end{aligned}$$ の $13$ 通りである。

以上より $$p_5 = 1 -\dfrac{43}{{}_{15} \mathrm{C}_3} = 1 - \dfrac{43}{455} = \dfrac{412}{455}$$ である。

3点を $\mathrm{A}_1 (x_1, \ y_1)$，$\mathrm{A}_2 (x_2, \ y_2)$，$\mathrm{A}_3 (x_3, \ y_3)$ とおく。ただし $x_1 \leqq x_2 \leqq x_3$ とする。

3点の取り方は全部で ${}_{6m} \mathrm{C}_3$ である。

以下，余事象を考えるために3点が三角形の3頂点とはならない組み合わせを求める。

• $x_1 = x_2 = x_3$ のとき
  $x_1$ の選びかたは $3$ 通り，$y_1, \ y_2, \ y_3$ の選び方は ${}_{2m} \mathrm{C}_3$ 通りで，合計 $$\begin{aligned} &3 \times {}_{2m} \mathrm{C}_3 \\ &= 3 \times \dfrac{1}{6} \times 2m (2m-1)(2m-2)\\ &= 2m(2m-1)(m-1) \end{aligned}$$ 通り。

• $x_1,\ x_2,\ x_3$ のうち2個が一致し，残りが一致しない場合
  この場合，常に3点は三角形をなすため $0$ 通り。

• $x_1,\ x_2, \ x_3$ がすべて異なるとき
  (1) 同様に，整数 $k$ により $\mathrm{A}_1 (1,\ y_1)$，$\mathrm{A}_2 (2,\ y_1 + k)$，$\mathrm{A}_3 (3,\ y_1+2k)$ と表される。 $$1 \leqq y_1 \leqq 2m,\ 1 \leqq y_1 + 2k \leqq 2m$$ であるため，これを満たす $(y_1, \ k)$ の個数を求めればよい。
  以下，$k$ を固定して，条件を満たす $y_1$ の個数を数える。
  $k > 0$ のとき，$1 \leqq y_1 \leqq 2m-2k$ であるため，条件を満たす $y_1$ の個数は $$\begin{cases} 2m-2k &(k < m)\\ 0 &(k \geqq m) \end{cases}$$ である。
  $k=0$ のとき，$y_1$ の条件は $1 \leqq y_1 \leqq 2m$ であるため，条件を満たす $y_1$ は $2m$ 個存在する。
  $k < 0$ のとき，$1-2k \leqq y_1 \leqq 2m$ であるため，条件を満たす $y_1$ の個数は $$\begin{cases} 2m+2k &(k > -m)\\ 0 &(k \leqq -m) \end{cases}$$ である。
  以上より条件を満たす $(y_1, \ k)$ の総数は $$\begin{aligned} &2m + \sum_{k=1}^{m-1} (2m-2k) + \sum_{k=-1}^{-m+1} (2m+2k)\\ &= 2m + 2 \sum_{k=1}^{m-1} (2m-2k)\\ &= 2m + 2 \sum_{k'=1}^{m-1} 2k'\\ &= 2m + 2m(m-1)\\ &= 2m^2 \end{aligned}$$ である。

以上より，求める値は $$\begin{aligned} p_{2m} &= 1 - \dfrac{2m(2m-1)(m-1)+2m^2}{{}_{2m} \mathrm{C}_3}\\ &= 1 - \dfrac{6 \cdot (4m^3-4m^2+2m)}{6m(6m-1)(6m-2)}\\ &= 1- \dfrac{2m^2-2m+1}{(6m-1)(3m-1)}\\ &= \dfrac{18m^2 - 9 m + 1 - (2m^2-2m+1)}{(6m-1)(3m-1)}\\ &= \dfrac{m(16m-7)}{(6m-1)(3m-1)} \end{aligned}$$ である。