【解答・解説】東大理系数学2026 第1問

$$\begin{aligned} f'(\theta) &= \cos \theta - 1 + \dfrac{\theta^2}{2}\\ f'' (\theta) &= - \sin \theta + \theta\\ f'''(\theta) &= - \cos \theta + 1 \end{aligned}$$

$f'''(\theta) \geqq 0$ であるため，$f''(\theta)$ は単調増加である。 $$\begin{aligned} f''(-1) &= \sin 1 - 1 < 0 , \\ f''(0) &= 0 , \\ f''(1) &= -\sin 1 + 1 > 0 \end{aligned}$$ より，$f'(\theta)$ の増減表は次のようになる。

$$\begin{array}{c|ccccc} \theta & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1\\ f''(\theta) & - & - & 0 & + & +\\ f'(\theta) & \searrow & \searrow & & \nearrow & \nearrow \end{array}$$

ゆえに $f'(\theta)$ は $\theta = 0$ で最小値をとる。計算すると $$f'(0) = 1-1+0 = 0$$ である。

よって，$-1 \leqq \theta \leqq 1$ の範囲で $f'(\theta) \geqq 0$ であるため，$f(\theta)$ はこの範囲で単調増加する。

つまり $f(\theta)$ は $\theta = -1$ で最小値，$\theta = 1$ で最大値をとる。こうして $$\begin{aligned} M &= \sin 1 - 1 + \dfrac{1}{6} = \sin 1 - \dfrac{5}{6}\\ m &= - \sin 1 + 1 - \dfrac{1}{6} = - \sin 1 + \dfrac{5}{6} \end{aligned}$$ である。

$$I = \int_0^{2\pi} \sin (\cos x - x) dx$$ とおく。

加法定理により $$I = \int_0^{2\pi} \sin (\cos x) \cos x dx - \int_0^{2\pi} \cos(\cos x) \sin x dx$$ である。

$$\begin{aligned} &\int_0^{2\pi} \cos (\cos x) \sin x dx\\ &= -\int_0^{2\pi} \cos (\cos x) (\cos x)' dx\\ &= -\Big[ \sin (\cos x) \Big]_0^{2\pi}\\ &= -\sin (\cos 2\pi) + \sin (\cos 0)\\ &= 0 \end{aligned}$$ であるため， $$I = \int_0^{2\pi} \sin (\cos x) \cos x dx$$ である。

$g(\theta) = \sin (\cos x) \cos x$ とおくと

$$\begin{aligned} g (x+\pi) &= \sin (\cos (x+\pi)) \cos (x+\pi)\\ &= \sin (-\cos x) \times (- \cos x)\\ &= \sin (\cos x) \cos x \end{aligned}$$ であるため $g(x)$ は，周期 $\pi$ である。また， $$\cos \left( \dfrac{\pi}{2} - x \right) = \sin x = - \cos \left( \dfrac{\pi}{2} + x \right)$$ であるため， $$g \left( \dfrac{\pi}{2} - x \right) = g \left( \dfrac{\pi}{2} + x \right)$$ である。

よって $$I = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin (\cos x) \cos x dx$$ である。

$0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ で $0 \leqq \cos x \leqq 1$ であるため，(1) より $$\begin{aligned} &\cos x - \dfrac{\cos^3 xa}{6} \\ &\leqq \sin (\cos x) \\ &\leqq \cos x - \dfrac{\cos^3 x}{6} + M \end{aligned}$$ を得る。

よって， $$\begin{aligned} &\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^2 x - \dfrac{\cos^4 x}{6} \right) dx\\ &\leqq \dfrac{1}{4} I\\ &\leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( M \cos x + \cos^2 x - \dfrac{\cos^4 x}{6} \right) dx \end{aligned}$$ を得る。

$$\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2x dx &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos 2x + 1}{2} dx\\ &= \Big[ \dfrac{1}{4} \sin 2x + \dfrac{x}{2} \Big]_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &= \dfrac{\pi}{4}\\ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 x dx &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \dfrac{\cos 2x+1}{2} \right)^2 dx\\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos^2 2x + 2 \cos 2x + 1}{4} dx\\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\frac{\cos 4x +1}{2} + 2 \cos 2x + 1}{4} dx\\ &= \Big[ \dfrac{1}{32} \sin 4x + \dfrac{1}{4} \sin 2x+ \dfrac{3}{8} x \Big]_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &= \dfrac{3}{16} \pi \end{aligned}$$ より $$\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^2 x - \dfrac{\cos^4 x}{6} \right) dx &= \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{3}{16} \pi\\ &= \dfrac{7}{32} \pi \end{aligned}$$ である。

また $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} M \cos x dx = \Big[ M \sin x \Big]_0^{\frac{\pi}{2}} = M$$ である。

よって， $$\dfrac{7}{8} \pi \leqq I \leqq \dfrac{7}{8} \pi + 4M$$ を得る。