積分方程式～京大特色2026第4問

$g(x)$ は連続関数であるため，$h(x)$ は微分可能である。これより $f(x)$ の微分可能性も従い，$g(x)$ の微分可能性も従う。

まずは条件式を辺々 $x$ で微分する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= -ah'(x) \exp(-h(x))\\ &= -f(x) h'(x)\\ g'(x) &= \dfrac{d}{dx}\left( \int_0^x (f(y)-1) dy \right)\\ &\qquad \times b\exp \left( \int_0^x (f(y)-1) dy \right)\\ &= (f(x)-1) g(x)\\ h'(x) &= g(x) \end{aligned}$$

よって $$\begin{cases} f'(x) = -f(x)h'(x)\\ g'(x) = f(x)g(x)-g(x)\\ h'(x) = g(x) \end{cases} \quad \cdots (\ast)$$ を得る。

$g(x)$ が最大値を取る場合，$g'(x) = 0$ のみであるため，このような $x$ の条件を求める。$g'(x) = (f(x)-1) g(x)$ であるため，以下 $f(x) =1$ となる $x$ を求める。

$(\ast)$ の辺々を足すと $$\begin{aligned} &f'(x)+g'(x)+h'(x) \\ &= -f(x)h(x)+f(x)g(x)-g(x)+g(x)\\ &= -f(x) g(x) + f(x) g(x)\\ &= 0 \end{aligned}$$ であるため，$f(x)+g(x)+h(x)$ は恒等関数である。

特に $$f(x)+g(x)+h(x) = f(0)+g(0)+h(0) = a+b$$ である。

また $b > 0$ であることと，任意の実数 $x$ について $e^x > 0$ であることを合わせると $g(x) > 0$ を得る。

$h'(x) = g(x) > 0$ より $h(x)$ は実数全体で（狭義）単調増加であることが分かる。これと $f(x)$ の定義から $f(x)$ は単調減少であることが分かる。

$f(0) = a > 1$ であるため，ある $x_0$ で $f(x_0) \leqq 1$ であることを示せば，中間値の定理より $f(x)=1$ の解が存在する。また $f(x)$ は単調減少関数であるため，解はただ1つ存在することが分かる。

任意の $x$ で $f(x) > 1$ であることを仮定する。

このとき，$g'(x) = (f(x)-1) g(x) > 0$ であるため，$g(x)$ は単調増加である。ゆえに $g(x) \geqq g(0) = b$ である。このとき $$h(x) = \int_0^x g(y) dy \geqq \int_0^x b\ dy = bx$$ より $\displaystyle \lim_{x \to \infty} h(x) = \infty$ となる。

$f(x) + g(x) + h(x) = a+b$ であることと，$g(x) \geqq > 0$ であることから $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty$ となる。これは $$f(x) = a \exp (-h(x)) > 0$$ と反する。

以上より，ある $x_0$ が存在し $f(x_0) = 1$ となることが分かる。また，このような $x_0$ は1つしか存在しない。

以上の議論から $g$ の増減表は $$\begin{array}{c|cccc} x & 0 & \cdots & x_0 & \cdots\\ \hline g'(x) & & + & 0 & -\\ g(x) & b & \nearrow & & \searrow \end{array}$$ である。ゆえに $g(x)$ の最大値は $g(x_0)$ である。

$f(x_0) = 1$ である一方， $$f(x) = a \exp (-h(x))$$ に $x = x_0$ を代入して対数を取ると $$h(x_0) = \log a$$ が従う。

$f(x)+g(x)+h(x) =a+b$ であったため， $$\begin{aligned} h(x_0) &= a+b - f(x_0) - h(x_0)\\ &= a-\log a + b - 1 \end{aligned}$$ である。