三角形の辺の長さにまつわる不等式～京大特色2026 第1問

$\triangle \mathrm{ABC}$ について，点 $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に下した垂線の足を $\mathrm{D}$，点 $\mathrm{B}$ から辺 $\mathrm{CA}$ に下した垂線の足を $\mathrm{E}$，点 $\mathrm{C}$ から辺 $\mathrm{AB}$ に下した垂線の足を $\mathrm{F}$ とおく。

このとき $$\dfrac{S}{\mathrm{BC}} = \dfrac{1}{2} \mathrm{AD},\\ \dfrac{S}{\mathrm{CA}} = \dfrac{1}{2} \mathrm{BE},\\ \dfrac{S}{\mathrm{AB}} = \dfrac{1}{2} \mathrm{CF}$$ である。よって $$\dfrac{16S^2}{9} \left( \dfrac{1}{\mathrm{AB}^2} + \dfrac{1}{\mathrm{BC}^2} + \dfrac{1}{\mathrm{CA}^2} \right) = \dfrac{4}{9} \left( \mathrm{AD}^2 + \mathrm{BE}^2 + \mathrm{CF}^2 \right)$$ である。

三角形の頂点からの2乗距離の和は重心で最小になるため， $$\mathrm{AP}^2 + \mathrm{BP}^2 + \mathrm{CP}^2 \geqq \mathrm{AG}^2 + \mathrm{BG}^2 + \mathrm{CG}^2$$ である。

実際に証明する。

$$\begin{aligned} |\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2 &= |\overrightarrow{\mathrm{AG}}-\overrightarrow{\mathrm{PG}}|^2\\ &= |\overrightarrow{\mathrm{AG}}|^2 + |\overrightarrow{\mathrm{PG}}|^2 - 2 \overrightarrow{\mathrm{AG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PG}} \end{aligned}$$ である。同様の式が $\mathrm{BP},\mathrm{CP}$ でも成立するため $$\begin{aligned} &\mathrm{AP}^2 + \mathrm{BP}^2 + \mathrm{CP}^2\\ &= (\mathrm{AG}^2+\mathrm{BG}^2 + \mathrm{CG}^2) + 3\mathrm{PG}^2 \\ &\quad - 2 (\overrightarrow{\mathrm{AG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PG}} + \overrightarrow{\mathrm{BG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PG}} + \overrightarrow{\mathrm{CG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PG}})\\ &= (\mathrm{AG}^2+\mathrm{BG}^2 + \mathrm{CG}^2) + 3\mathrm{PG}^2 \\ &\quad - 2 (\overrightarrow{\mathrm{AG}} + \overrightarrow{\mathrm{BG}} + \overrightarrow{\mathrm{CG}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{PG}} \end{aligned}$$ が成り立つ。

今，$\mathrm{G}$ は三角形 $\mathrm{ABC}$ の重心であったため， $$\overrightarrow{\mathrm{AG}} + \overrightarrow{\mathrm{BG}} + \overrightarrow{\mathrm{CG}}= 0$$ である。よって $$\mathrm{AP}^2 + \mathrm{BP}^2 + \mathrm{CP}^2 = \mathrm{AG}^2+\mathrm{BG}^2 + \mathrm{CG}^2 + 3\mathrm{PG}^2$$ となる。

$\mathrm{PG}^2 \geqq 0$（等号成立は $\mathrm{P}$ と $\mathrm{G}$ が一致するとき）であるため， $$\mathrm{AP}^2 + \mathrm{BP}^2 + \mathrm{CP}^2 \geqq \mathrm{AG}^2+\mathrm{BG}^2 + \mathrm{CG}^2$$ （等号成立は $\mathrm{P} = \mathrm{G}$ であるとき）が示された。

$\triangle \mathrm{ABC}$ について，辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$，辺 $\mathrm{CA}$ の中点を $\mathrm{N}$，辺 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{L}$ とおく。

重心の性質より $$\dfrac{2}{3} = \dfrac{\mathrm{AG}}{\mathrm{AM}} = \dfrac{\mathrm{BG}}{\mathrm{BN}} = \dfrac{\mathrm{CG}}{\mathrm{CL}}$$ であるため $$\mathrm{AP}^2 + \mathrm{BP}^2 + \mathrm{CP}^2 \geqq \dfrac{4}{9} \left( \mathrm{AM}^2+\mathrm{BN}^2 + \mathrm{CL}^2 \right)$$ を得る。

以上の議論より示すべき不等式は $$\mathrm{AD}^2 + \mathrm{BE}^2 + \mathrm{CF}^2 \leqq \mathrm{AM}^2+\mathrm{BN}^2 + \mathrm{CL}^2$$ である。

三平方の定理より $$\mathrm{AD}^2 = \mathrm{AM}^2 - \mathrm{DM}^2 \leqq \mathrm{AM}^2$$ である。点 $\mathrm{B},\mathrm{C}$ にも同様に議論することで不等式が従う。

等号成立は各辺の中点と各頂点から辺に下した垂線の足が一致するときである。このとき，重心と垂心が一致するときであるため，$\triangle \mathrm{ABC}$ は正三角形になる。

以下，$\mathrm{BC} = a$，$\mathrm{CA} = b$，$\mathrm{AB} = c$ とおく。

$\triangle \mathrm{ABC}$ の外接円の半径を $R$ とすると $$S = \dfrac{abc}{4R}$$ である。→ 外接円の半径と三角形の面積の関係(S=abc/4R)

これにより $$\dfrac{16S^2}{9} \left( \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} \right) = \dfrac{1}{9R^2} (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$ である。

よって，示すべき不等式は $$9R^2 (\mathrm{AP}^2 + \mathrm{BP}^2 + \mathrm{CP}^2 ) \geqq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$$ である。

三角形の頂点からの2乗距離の和は重心で最小になるため， $$\mathrm{AP}^2 + \mathrm{BP}^2 + \mathrm{CP}^2 \geqq \mathrm{AG}^2 + \mathrm{BG}^2 + \mathrm{CG}^2$$ である。（証明は前述の通り）

中線定理より $$\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2 = 2(\mathrm{AM}^2 + \mathrm{BM}^2)$$ である。整理することで $$\begin{aligned} \mathrm{AM}^2 &= \dfrac{\mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 - 2\mathrm{BM}^2}{2} \\ &= \dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4} \end{aligned}$$ を得る。

$\dfrac{\mathrm{AG}}{\mathrm{AM}} = \dfrac{2}{3}$ であるため $$\mathrm{AG}^2 = \dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{9}$$ である。

同様に $\mathrm{BG},\mathrm{CG}$ も計算できるため， $$\mathrm{AG}^2 + \mathrm{BG}^2 + \mathrm{CG}^2 = \dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$$ である。

よって $$\mathrm{AP}^2 + \mathrm{BP}^2 + \mathrm{CP}^2 \geqq \dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$$ を得る。

一般に $$9R^2 \geqq a^2+b^2+c^2$$ が成立する。これを証明する。

$\triangle \mathrm{ABC}$ の外心を $\mathrm{O}$ とおく。

$$3R^2 = \mathrm{AO}^2 + \mathrm{BO}^2 + \mathrm{CO}^2$$ である。

前述した事実を $\mathrm{P} = \mathrm{O}$ で考えると $$\begin{aligned} 3R^2 &= \mathrm{AO}^2 + \mathrm{BO}^2 + \mathrm{CO}^2 \\ &\geqq \mathrm{AG}^2 + \mathrm{BG}^2 + \mathrm{CG}^2\\ & = \dfrac{a^2+b^2+c^2}{3} \end{aligned}$$ が成り立つ。こうして題意は示された。

上述したことから $$9R^2 (\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2) \geqq \dfrac{1}{3} (a^2+b^2+c^2)^2$$ を得る。なお，等号成立は $\triangle \mathrm{ABC}$ が正三角形かつ $\mathrm{P}$ が重心と一致するときである。

さて， $$\begin{aligned} &(a^2+b^2+c^2)^2 - 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\\ &= a^4 + b^4 + c^4 - a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2\\ &= \dfrac{1}{2} \{ (a^2-b^2)^2 + (b^2-c^2) + (c^2-a^2) \} \\ &\geqq 0 \end{aligned}$$ （等号成立は $a=b=c$）であるため， $$\dfrac{1}{3} (a^2+b^2+c^2)^2 \geqq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$$ を得る。

これらをまとめることにより，示すべき不等式 $$9R^2 (\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2) \geqq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$$ が得られる。