三角形の頂点からの2乗距離の和は重心で最小になる

$$\begin{aligned} |\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2 &= |\overrightarrow{\mathrm{AG}}-\overrightarrow{\mathrm{PG}}|^2\\ &= |\overrightarrow{\mathrm{AG}}|^2 + |\overrightarrow{\mathrm{PG}}|^2 - 2 \overrightarrow{\mathrm{AG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PG}} \end{aligned}$$ である。同様の式が $\mathrm{BP},\mathrm{CP}$ でも成立するため $$\begin{aligned} &\mathrm{AP}^2 + \mathrm{BP}^2 + \mathrm{CP}^2\\ &= (\mathrm{AG}^2+\mathrm{BG}^2 + \mathrm{CG}^2) + 3\mathrm{PG}^2 \\ &\quad - 2 (\overrightarrow{\mathrm{AG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PG}} + \overrightarrow{\mathrm{BG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PG}} + \overrightarrow{\mathrm{CG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PG}})\\ &= (\mathrm{AG}^2+\mathrm{BG}^2 + \mathrm{CG}^2) + 3\mathrm{PG}^2 \\ &\quad - 2 (\overrightarrow{\mathrm{AG}} + \overrightarrow{\mathrm{BG}} + \overrightarrow{\mathrm{CG}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{PG}} \end{aligned}$$ が成り立つ。

今，$\mathrm{G}$ は三角形 $\mathrm{ABC}$ の重心であったため， $$\overrightarrow{\mathrm{AG}} + \overrightarrow{\mathrm{BG}} + \overrightarrow{\mathrm{CG}}= 0$$ である。よって $$\mathrm{AP}^2 + \mathrm{BP}^2 + \mathrm{CP}^2 = \mathrm{AG}^2+\mathrm{BG}^2 + \mathrm{CG}^2 + 3\mathrm{PG}^2$$ となる。

$\mathrm{PG}^2 \geqq 0$（等号成立は $\mathrm{P}$ と $\mathrm{G}$ が一致するとき）であるため， $$\mathrm{AP}^2 + \mathrm{BP}^2 + \mathrm{CP}^2 \geqq \mathrm{AG}^2+\mathrm{BG}^2 + \mathrm{CG}^2$$ （等号成立は $\mathrm{P} = \mathrm{G}$ であるとき）が示された。